ඇල්ගොරිතම විශ්ලේෂණයේ මැජික් පිටුපස පද්ධතියක් තිබේද?

ඇල්ගොරිතම වල ධාවන කාලය විශ්ලේෂණය කරන්නේ කෙසේද යන්න පිළිබඳ ප්‍රශ්න රාශියක් ඇත (බලන්න, උදා: ධාවන කාල විශ්ලේෂණය සහ ඇල්ගොරිතම විශ්ලේෂණය ). බොහෝ ඒවා සමාන ය, නිදසුනක් ලෙස කූඩු ලූප පිළිබඳ පිරිවැය විශ්ලේෂණයක් ඉල්ලා සිටින අය හෝ ඇල්ගොරිතම බෙදීමට හා යටත් කර ගැනීමට ඉල්ලන නමුත් බොහෝ පිළිතුරු ගැලපෙන පරිදි සකස් කර ඇති බව පෙනේ.

අනෙක් අතට, තවත් පොදු ප්‍රශ්නයකට පිළිතුරු විශාල පින්තූරයක් (විශේෂයෙන් අසමමිතික විශ්ලේෂණය සම්බන්ධයෙන්) උදාහරණ කිහිපයක් සමඟ පැහැදිලි කරයි, නමුත් ඔබේ දෑත් අපිරිසිදු කරන්නේ කෙසේද යන්න නොවේ.

ඇල්ගොරිතමවල පිරිවැය විශ්ලේෂණය කිරීම සඳහා ව්‍යුහාත්මක, පොදු ක්‍රමයක් තිබේද? පිරිවැය ක්‍රියාත්මක වන කාලය (කාල සංකීර්ණතාව) හෝ ක්‍රියාත්මක කරන ලද සැසඳීම් ගණන, අවකාශයේ සංකීර්ණතාව හෝ වෙනත් දෙයක් වැනි වෙනත් වියදම් මිනුමක් විය හැකිය.

^{මෙය ආරම්භකයින් වෙත යොමු කිරීම සඳහා භාවිතා කළ හැකි යොමු ප්‍රශ්නයක් බවට පත්වේ ; එබැවින් එහි සාමාන්‍ය විෂය පථයට වඩා පුළුල් ය. අවම වශයෙන් එක් උදාහරණයකින් නිරූපණය කළ හැකි නමුත් බොහෝ අවස්ථාවන් ආවරණය වන පරිදි සාමාන්‍ය, ප්‍රායෝගිකව ඉදිරිපත් කරන ලද පිළිතුරු ලබා දීමට කරුණාකර සැලකිලිමත් වන්න. ස්තූතියි!}

කේතය ගණිතයට පරිවර්තනය කිරීම

(වැඩි හෝ අඩු) විධිමත් මෙහෙයුම් අර්ථකථනයක් ලබා දී ඔබට ඇල්ගොරිතමයේ (ව්‍යාජ) කේතයක් වචනාර්ථයෙන් ගණිතමය ප්‍රකාශනයකට පරිවර්ථනය කළ හැකි අතර එය ප්‍රති result ලය ලබා දෙයි. සැසඳීම් ගණන, හුවමාරුව, ප්‍රකාශ, මතක ප්‍රවේශයන්, සමහර වියුක්ත යන්ත්‍ර අවශ්‍යතා සඳහා වන චක්‍ර වැනි ආකලන පිරිවැය මිනුම් සඳහා මෙය හොඳින් ක්‍රියා කරයි .

උදාහරණය: බබල්සෝර්ට් හි සැසඳීම්

දී ඇති අරාව වර්ග කරන මෙම ඇල්ගොරිතම සලකා බලන්න A:

 bubblesort(A) do                   1
  n = A.length;                     2
  for ( i = 0 to n-2 ) do           3
    for ( j = 0 to n-i-2 ) do       4
      if ( A[j] > A[j+1] ) then     5
        tmp    = A[j];              6
        A[j]   = A[j+1];            7
        A[j+1] = tmp;               8
      end                           9
    end                             10
  end                               11
end                                 12

සුපුරුදු වර්ග කිරීමේ ඇල්ගොරිතම විශ්ලේෂණය කිරීමට අපට අවශ්‍ය යැයි කියමු, එනම් මූලද්‍රව්‍ය සැසඳීම් ගණන (5 වන පේළිය). අපි මේ ප්රමාණය අරා අන්තර්ගත මත පදනම් නොවී, වහාම කරුණාවෙන් Aපමණක් එහි දිග මත . එබැවින් අපට (කැදැලි) ලූප් වචනාර්ථයෙන් (කැදැලි) මුදල් බවට පරිවර්තනය කළ හැකිය ; ලූප් විචල්‍යය සාරාංශ විචල්‍යය බවට පත්වන අතර පරාසය ඉක්මවා යයි. අපට ලැබෙන්නේ:$n$for

$\qquad\displaystyle C_{\text{cmp}}(n) = \sum_{i=0}^{n-2} \sum_{j=0}^{n-i-2} 1 = \dots = \frac{n(n-1)}{2} = \binom{n}{2}$ ,

මෙහි යනු 5 වන පේළිය ක්‍රියාත්මක කිරීම සඳහා වන පිරිවැයයි (අප ගණන් කරන).$1$

උදාහරණය: බබල්සෝර්ට් හි හුවමාරුව

මම විසින් නිර්මනය කරන්නම් රැහැන් සමන්විත බව subprogram කිරීමට හා විසින් වන මෙම subprogram ක්රියාත්මක කිරීමේ පිරිවැය (එක් වරක්). C i , $P_{i,j}$ij$C_{i,j}$

දැන් අපි කියමු අපට හුවමාරුව ගණන් කිරීමට අවශ්‍යයි , එනම් ක්‍රියාත්මක වන වාර ගණන එයයි. මෙය "මූලික බ්ලොක්" එකක් වන අතර එය සෑම විටම පරමාණුකව ක්‍රියාත්මක වන අතර යම් නියත පිරිවැයක් දරණ උප ප්‍රෝග්‍රෑම් එකකි (මෙහි ). එවැනි කොටස් සංකෝචනය කිරීම යනු අප බොහෝ විට අදාළ වන්නේ ඒ ගැන සිතීම හෝ කතා කිරීමකින් තොරවය.$P_{6,8}$$1$

ඉහත සමාන පරිවර්තනයකින් අපි පහත සූත්‍රයට පැමිණෙමු:

$\qquad\displaystyle C_{\text{swaps}}(A) = \sum_{i=0}^{n-2} \sum_{j=0}^{n-i-2} C_{5,9}(A^{(i,j)})$ .

( i , j ) P 5 , $A^{(i,j)}$ යන්නෙන් දැක්වෙන්නේ - it හි පුනරාවර්තනයට පෙර අරාවෙහි තත්වයයි .$(i,j)$$P_{5,9}$

මම පරාමිතිය ලෙස වෙනුවට භාවිතා බව සලකන්න ; අපි ඉක්මනින්ම බලමු ඇයි කියලා. of හි පරාමිතීන් ලෙස සහ එකතු නොකරමි, මන්ද මෙහි පිරිවැය ඒවා මත රඳා නොපවතී ( ඒකාකාර පිරිවැය ආකෘතියේ , එනම්); පොදුවේ ගත් කල, ඔවුන් එසේ කළ හැකිය.n i j C 5 , $A$$n$$i$$j$$C_{5,9}$

පැහැදිලිවම, of හි පිරිවැය හි අන්තර්ගතය මත රඳා පවතී (අගයන් සහ , විශේෂයෙන්) එබැවින් අපි ඒ සඳහා ගණන් ගත යුතුය. දැන් අපි අභියෝගයකට මුහුණ දී සිටිමු: අපි "" ගන්නේ " කෙසේද? හොඳයි, අපි අන්තර්ගතය මත රඳා පැවැතීමට කළ හැකි පැහැදිලි: ඒ සී 5 , 9$P_{5,9}$$A$A[j]A[j+1]$C_{5,9}$$A$

$\qquad\displaystyle C_{5,9}(A^{(i,j)}) = C_5(A^{(i,j)}) + \begin{cases} 1 &, \mathtt{A^{(i,j)}[j] > A^{(i,j)}[j+1]} \\ 0 &, \text{else} \end{cases}$ .

ඕනෑම ආදාන අරාවක් සඳහා, මෙම පිරිවැය මනාව නිර්වචනය කර ඇත, නමුත් අපට වඩාත් පොදු ප්‍රකාශයක් අවශ්‍යය; අපි ශක්තිමත් උපකල්පන කළ යුතුයි. සාමාන්‍ය අවස්ථා තුනක් විමර්ශනය කරමු.

1. නරකම අවස්ථාව

   that බව සඳහන් කිරීමෙන් පමණක්, පිරිවැය සඳහා සුළු ඉහළ සීමාවක් අපට සොයාගත හැකිය:$C_{5,9}(A^{(i,j)}) \in \{0,1\}$

   $\qquad\displaystyle C_{\text{swaps}}(A) \leq \sum_{i=0}^{n-2} \sum_{j=0}^{n-i-2} 1 = \frac{n(n-1)}{2} = \binom{n}{2}$ .

   නමුත් මෙය සිදුවිය හැකිද , එනම් මෙම ඉහළ සීමාව ලබා ගැනීම සඳහා තිබේද? පෙනෙන ආකාරයට, ඔව්: අපි ප්‍රතිලෝමව යුගල වශයෙන් යුගල වශයෙන් වෙනස් වූ මූලද්‍රව්‍ය සමූහයක් ඇතුළත් කරන්නේ නම්, සෑම ක්‍රියාවලියක්ම ස්වප් එකක් සිදු කළ යුතුය. එම නිසා, අපි බබ්ල්සෝර්ට් හි හුවමාරුවෙහි නරකම අවස්ථාව ලබාගෙන ඇත.$A$

2. හොඳම නඩුව

   අනෙක් අතට, සුළු සුළු සීමාවක් ඇත:

   $\qquad\displaystyle C_{\text{swaps}}(A) \geq \sum_{i=0}^{n-2} \sum_{j=0}^{n-i-2} 0 = 0$ .

   මෙයද සිදුවිය හැකිය: දැනටමත් වර්ග කර ඇති අරාව මත, බබල්සෝර්ට් එක හුවමාරුවක් ක්‍රියාත්මක නොකරයි.

3. සාමාන්‍ය නඩුව

   නරකම හා හොඳම අවස්ථාව තරමක් පරතරයක් විවෘත කරයි. නමුත් සාමාන්‍ය හුවමාරු සංඛ්‍යාව කුමක්ද? මෙම ප්‍රශ්නයට පිළිතුරු සැපයීම සඳහා, “සාමාන්‍ය” යන්නෙන් අදහස් කරන්නේ කුමක්ද යන්න අප විසින් නිර්වචනය කළ යුතුය. න්‍යාය අනුව, අපට එක් ආදානයකට වඩා වැඩි කැමැත්තක් දැක්වීමට කිසිදු හේතුවක් නොමැති අතර, එබැවින් අපි සාමාන්‍යයෙන් හැකි සෑම යෙදවුම් වලටම ඒකාකාර බෙදාහැරීමක් උපකල්පනය කරමු , එනම් සෑම ආදානයක්ම එක හා සමාන විය හැකිය. අපි යුගල වශයෙන් එකිනෙකට වෙනස් මූලද්‍රව්‍යයන් සහිත අරා වලට පමණක් සීමා වන අතර එමඟින් අහඹු ප්‍රේරණ ආකෘතිය උපකල්පනය කරමු .

   එවිට, අපගේ පිරිවැය මේ ආකාරයට නැවත ලිවිය හැකිය:

   $\qquad\displaystyle \mathbb{E}[C_{\text{swaps}}] = \frac{1}{n!} \sum_{A} \sum_{i=0}^{n-2} \sum_{j=0}^{n-i-2} C_{5,9}(A^{(i,j)})$

   දැන් අපට සරල මුදල් පරිහරණයෙන් ඔබ්බට යා යුතුය. ඇල්ගොරිතම දෙස බැලීමෙන්, සෑම හුවමාරුවක්ම හි එක් ප්‍රතිලෝමයක් හරියටම ඉවත් කරන බව අපි සටහන් කරමු (අපි කවදා හෝ අසල්වැසියන් පමණක් හුවමාරු කර ගනිමු). මත සිදු වන්නේ ද හුවමාරු සංඛ්යාව බව inversions හරියටම සංඛ්යාව වේ ක . මේ අනුව, අපට අභ්‍යන්තර මුදල් දෙක ප්‍රතිස්ථාපනය කර ලබා ගත හැකිය$A$$A$$\operatorname{inv}(A)$$A$

   $\qquad\displaystyle \mathbb{E}[C_{\text{swaps}}] = \frac{1}{n!} \sum_{A} \operatorname{inv}(A)$ .

   අපට වාසනාවකි, සාමාන්‍ය ප්‍රතිලෝම ගණන තීරණය කර ඇත

   $\qquad\displaystyle \mathbb{E}[C_{\text{swaps}}] = \frac{1}{2} \cdot \binom{n}{2}$

   එය අපගේ අවසාන ප්‍රති .ලයයි. මෙය හරියටම නරකම වියදමෙන් අඩක් බව සලකන්න .

1. i = n-1කිසි විටෙකත් කිසිවක් නොකරන පිටත ලූපය සමඟ “අන්තිම” පුනරාවර්තනය ක්‍රියාත්මක නොවන පරිදි ඇල්ගොරිතම ප්‍රවේශමෙන් සකස් කර ඇති බව සලකන්න .
2. " " යනු "අපේක්ෂිත අගය" සඳහා ගණිතමය අංකනයකි, මෙහි සාමාන්‍යය පමණි.$\mathbb{E}$
3. අසල්වැසි මූලද්‍රව්‍ය පමණක් මාරු කරන කිසිදු ඇල්ගොරිතමයක් බබල්සෝර්ට් වලට වඩා අසමමිතික ලෙස වේගවත් විය නොහැකි බව අපි ඉගෙන ගනිමු (ප්‍රතිලෝම ගණන එවැනි සියලු ඇල්ගොරිතම සඳහා අඩු සීමාවක් වේ. මෙය උදා: ඇතුළත් කිරීමේ වර්ග කිරීම සහ තේරීම් වර්ග කිරීම සඳහා අදාළ වේ .

සාමාන්‍ය ක්‍රමය

පාලන ව්‍යුහය ගණිතයට පරිවර්තනය කළ යුතු බව අපි උදාහරණයෙන් දුටුවෙමු. පරිවර්තන නීති පිළිබඳ සාමාන්‍ය සමූහයක් මම ඉදිරිපත් කරමි. කිසියම් උප ප්‍රෝග්‍රෑම් එකක පිරිවැය වත්මන් තත්වය , එනම් (දළ වශයෙන්) විචල්‍යයන්ගේ වත්මන් අගයන් මත රඳා පවතින බව ද අපි දැක ඇත්තෙමු . ඇල්ගොරිතම (සාමාන්‍යයෙන්) තත්වය වෙනස් කරන බැවින්, සාමාන්‍ය ක්‍රමය සටහන් කිරීමට තරමක් කරදරකාරී ය. ඔබට ව්‍යාකූල බවක් දැනෙන්නට පටන් ගන්නේ නම්, මම ඔබට යෝජනා කරන්නේ ආදර්ශයට ආපසු යන්න හෝ ඔබේම දෑ සාදා ගන්න.

අපි වර්තමාන තත්වය සමඟ (එය විචල්‍ය පැවරුම් සමූහයක් ලෙස සිතන්න). අපි රාජ්‍ය ආරම්භ වන වැඩසටහනක් ක්‍රියාත්මක කරන විට , අපි අවසන් වන්නේ ( අවසන් වූ විට).$\psi$P$\psi$$\psi / \mathtt{P}$P

• තනි ප්‍රකාශ

  එක් ප්‍රකාශයක් පමණක් ලබා දී S;, ඔබ එයට . මෙය සාමාන්‍යයෙන් නියත ශ්‍රිතයක් වනු ඇත.$C_S(\psi)$

• ප්‍රකාශන

  ඔබට Eපෝරමයේ ප්‍රකාශනයක් තිබේ නම් E1 ∘ E2(කියන්න, ∘එකතු කිරීම හෝ ගුණ කිරීම විය හැකි අංක ගණිත ප්‍රකාශනයක් නම් , ඔබ පුනරාවර්තන ලෙස පිරිවැය එකතු කරයි:

  $\qquad\displaystyle C_E(\psi) = c_{\circ} + C_{E_1}(\psi) + C_{E_2}(\psi)$ .

  එය සටහන් කර ගන්න

  • මෙහෙයුම් පිරිවැය constant නියත නොවිය හැකි නමුත් සහ සහ$c_{\circ}$$E_1$$E_2$
  • ප්‍රකාශන ඇගයීම බොහෝ භාෂාවලින් තත්වය වෙනස් කළ හැකිය,

  එබැවින් ඔබට මෙම රීතිය සමඟ නම්‍යශීලී වීමට සිදුවනු ඇත.

• අනුක්රමය

  වැඩසටහන් Pඅනුපිළිවෙලක් ලෙස වැඩසටහනක් ලබා දී Q;R, ඔබ පිරිවැය එකතු කරයි

  $\qquad\displaystyle C_P(\psi) = C_Q(\psi) + C_R(\psi / \mathtt{Q})$ .

• කොන්දේසි

  Pපෝරමයේ වැඩසටහනක් අනුව if A then Q else R end, පිරිවැය රාජ්යය මත රඳා පවතී:

  $\qquad\displaystyle C_P(\psi) = C_A(\psi) + \begin{cases} C_Q(\psi/\mathtt{A}) &, \mathtt{A} \text{ evaluates to true under } \psi \\ C_R(\psi/\mathtt{A}) &, \text{else} \end{cases}$

  පොදුවේ ගත් කල, ඇගයීම Aමගින් රාජ්‍යය ඉතා හොඳින් වෙනස් කළ හැකිය, එබැවින් තනි ශාඛා වල පිරිවැය යාවත්කාලීන කිරීම.

• For-Loops

  Pපෝරමයේ වැඩසටහනක් ලබා දී for x = [x1, ..., xk] do Q end, පිරිවැය පවරන්න

  $\qquad\displaystyle C_P(\psi) = c_{\text{init_for}} + \sum_{i=1}^k c_{\text{step_for}} + C_Q(\psi_i \circ \{\mathtt{x := xi\}})$

  එහිදී රාජ්ය සකසන ඉදිරියේ ඇති වටිනාකම සඳහා , එනම්, සමග ප්රතිඵලයක්ම පසු කිරීමට හැකි වීම , ..., .$\psi_i$Qxixx1xi-1

  ලූප් නඩත්තුව සඳහා අමතර නියතයන් සැලකිල්ලට ගන්න; ලූප් විචල්‍යය නිර්මාණය කළ යුතුය ( ) සහ එහි අගයන් පවරා ඇත ( ). එතැන් සිට මෙය අදාළ වේ$c_{\text{init_for}}$$c_{\text{step_for}}$

  • ඊළඟ ගණනය කිරීම xiමිල අධික විය හැකිය
  • forහිස් ශරීරයක් සහිත -ලූප් (උදා: නිශ්චිත පිරිවැයක් සහිත හොඳම අවස්ථාවක සරල කිරීමෙන් පසු) එය පුනරාවර්තන සිදු කරන්නේ නම් ශුන්‍ය පිරිවැයක් නොමැත.

• අතර-ලූප

  Pපෝරමයේ වැඩසටහනක් ලබා දී while A do Q end, පිරිවැය පවරන්න

  $\qquad\displaystyle C_P(\psi) \\\qquad\ = C_A(\psi) + \begin{cases} 0 &, \mathtt{A} \text{ evaluates to false under } \psi \\ C_Q(\psi/\mathtt{A}) + C_P(\psi/\mathtt{A;Q}) &, \text{ else} \end{cases}$

  ඇල්ගොරිතම පරීක්ෂා කිරීමෙන්, මෙම පුනරාවර්තනය බොහෝ විට ලූප සඳහා වන මුදලට සමාන මුදලක් ලෙස නිරූපණය කළ හැකිය.

  උදාහරණය: මෙම කෙටි ඇල්ගොරිතම සලකා බලන්න:

  while x > 0 do    1
    i += 1          2
    x = x/2         3
  end               4
  

  රීතිය ක්‍රියාත්මක කිරීමෙන් අපට ලැබේ

  $\qquad\displaystyle C_{1,4}(\{i := i_0; x := x_0\}) \\\qquad\ = c_< + \begin{cases} 0 &, x_0 \leq 0 \\ c_{+=} + c_/ + C_{1,4}(\{i := i_0 + 1; x := \lfloor x_0/2 \rfloor\}) &, \text{ else} \end{cases}$

  නියත පිරිවැය සමඟ individual තනි ප්‍රකාශ සඳහා. අපි මේ කරන්නේ ඒ නිසැකයෙන්ම උපකල්පනය නො (වටිනාකම් රාජ්ය මත රඳා පවතී හා ); මෙය "යථාර්ථය" තුළ සත්‍ය හෝ නොවිය හැකිය: පිටාර ගැලීම් ගැන සිතන්න!$c_{\dots}$ix

  දැන් අපි for සඳහා මෙම පුනරාවර්තනය විසඳිය යුතුයි . පුනරාවර්තන ගණන හෝ ලූප් ශරීරයේ පිරිවැය රඳා නොපවතින බව අපි සටහන් කරමු , එබැවින් අපට එය අතහැර දැමිය හැකිය. මෙම පුනරාවර්තනය අපට ඉතිරිව ඇත:$C_{1,4}$i

  $\qquad\displaystyle C_{1,4}(x) = \begin{cases} c_> &, x \leq 0 \\ c_> + c_{+=} + c_/ + C_{1,4}(\lfloor x/2 \rfloor) &, \text{ else} \end{cases}$

  මෙම සමාජමය සහ මූලික මාධ්යයක් කිරීමට

  $\qquad\displaystyle C_{1,4}(\psi) = \lceil \log_2 \psi(x) \rceil \cdot (c_> + c_{+=} + c_/) + c_>$ ,

  සංකේතාත්මකව පූර්ණ රාජ්‍යය නැවත හඳුන්වා දීම; if නම් , .$\psi = \{ \dots, x := 5, \dots\}$$\psi(x) = 5$

• ක්‍රියා පටිපාටි ඇමතුම්

  වැඩසටහනක් ලබා Pආකෘති M(x)සමහර පරාමිතිය සඳහා (ව) xඑහිදී M(නම්) පරාමිතිය සමඟ ක්රියා පටිපාටියක් p, සකාට වියදම්

  $\qquad\displaystyle C_P(\psi) = c_{\text{call}} + C_M(\psi_{\text{glob}} \circ \{p := x\})$ .

  අතිරේක නියතය (එය ඇත්ත වශයෙන්ම මත රඳා පවතී !) නැවත සටහන් කරන්න. ක්‍රියා පටිපාටි ඇමතුම් සැබෑ යන්ත්‍ර මත ක්‍රියාත්මක වන ආකාරය නිසා මිල අධික වන අතර සමහර විට ධාවන වේලාවන්හි පවා ආධිපත්‍යය දරයි (උදා: ෆිබොනාච්චි සංඛ්‍යා පුනරාවර්තනය බොළඳ ලෙස තක්සේරු කිරීම).$c_{\text{call}}$$\psi$

  ඔබට මෙහි ඇති රාජ්‍යය සමඟ ඇති විය හැකි අර්ථකථන ගැටළු කිහිපයක් ගැන මම විස්තර කරමි. ගෝලීය රාජ්‍යය සහ එවැනි දේශීය ක්‍රියා පටිපාටි ඇමතුම් වෙන්කර හඳුනා ගැනීමට ඔබට අවශ්‍ය වනු ඇත. අප මෙහි පමණක් ගෝලීය රාජ්ය සමත් එහෙනම් අපි දැන් උපකල්පනය සහ Mවටිනාකම තබමින් ආරම්භනය නව දේශීය රාජ්ය, ලැබෙන pකිරීමට x. තවද, xඑය සම්මත කිරීමට පෙර ඇගයීමට ලක් කිරීමට අප (සාමාන්‍යයෙන්) උපකල්පනය කරන ප්‍රකාශනයක් විය හැකිය.

  උදාහරණය: ක්රියා පටිපාටිය සලකා බලන්න

  fac(n) do                  
    if ( n <= 1 ) do         1
      return 1               2
    else                     3
      return n * fac(n-1)    4
    end                      5
  end                        
  

  රීති (ය) අනුව, අපට ලැබෙන්නේ:

  $\qquad\displaystyle\begin{align*} C_{\text{fac}}(\{n := n_0\}) &= C_{1,5}(\{n := n_0\}) \\ &= c_{\leq} + \begin{cases} C_2(\{n := n_0 \}) &, n_0 \leq 1 \\ C_4(\{n := n_0 \}) &, \text{ else} \end{cases} \\ &= c_{\leq} + \begin{cases} c_{\text{return}} &, n_0 \leq 1 \\ c_{\text{return}} + c_* + c_{\text{call}} + C_{\text{fac}}(\{n := n_0 - 1\}) &, \text{ else} \end{cases} \end{align*}$

  facපැහැදිලිවම කිසිවකට ප්‍රවේශ නොවන පරිදි අපි ගෝලීය රාජ්‍යය නොසලකා හරින බව සලකන්න . මෙම විශේෂිත පුනරාවර්තනය විසඳීමට පහසුය

  $\qquad\displaystyle C_{\text{fac}}(\psi) = \psi(n) \cdot (c_{\leq} + c_{\text{return}}) + (\psi(n) - 1) \cdot (c_* + c_{\text{call}})$

සාමාන්‍ය ව්‍යාජ කේතයකින් ඔබට හමු වන භාෂා අංග අපි ආවරණය කර ඇත්තෙමු. ඉහළ මට්ටමේ ව්‍යාජ කේත විශ්ලේෂණය කිරීමේදී සැඟවුණු වියදම් වලින් පරිස්සම් වන්න; සැකයක් ඇත්නම්, දිග හැරෙන්න. අංකනය අවුල් සහගත බවක් පෙනෙන්නට ඇති අතර එය නිසැකවම රසයේ කාරණයක් වේ; ලැයිස්තුගත කර ඇති සංකල්ප නොසලකා හැරිය නොහැකිය. කෙසේ වෙතත්, යම් අත්දැකීමක් සමඟ ඔබට පිරිවැය මැනීම සඳහා කුමන ප්‍රාන්තයේ අදාළද යන්න වහාම දැකගත හැකිය, උදාහරණයක් ලෙස “ගැටළු ප්‍රමාණය” හෝ “සිරස් ගණන”. ඉතිරිය අතහැර දැමිය හැකිය - මෙය සැලකිය යුතු ලෙස දේවල් සරල කරයි!

මෙය බෙහෙවින් සංකීර්ණ යැයි ඔබ දැන් සිතන්නේ නම්, උපදෙස් දෙන්න: එය එසේ ය ! ධාවන කාල අනාවැකි (සාපේක්ෂ ඒවා පවා) සක්‍රීය කිරීම සඳහා සැබෑ යන්ත්‍රවලට ආසන්නව ඇති ඕනෑම ආකෘතියක ඇල්ගොරිතම සඳහා නිශ්චිත පිරිවැය ලබා ගැනීම දැඩි උත්සාහයකි. සැබෑ යන්ත්‍ර මත හැඹිලි සහ වෙනත් අප්රසන්න බලපෑම් පවා එය නොසලකයි.

එබැවින්, ඇල්ගොරිතම විශ්ලේෂණය බොහෝ විට ගණිතමය වශයෙන් පත්‍රිකා ගත හැකි මට්ටමට සරල කර ඇත. නිදසුනක් ලෙස, ඔබට නිශ්චිත පිරිවැයක් අවශ්‍ය නොවන්නේ නම්, ඔබට ඕනෑම අවස්ථාවක අධික ලෙස හෝ අවතක්සේරු කළ හැකිය (ඉහළ ප්‍රතිචාර සඳහා පහළ සීමාවන් සඳහා): නියතයන් අඩු කිරීම, කොන්දේසි ඉවත් කිරීම, මුදල් සරල කිරීම සහ යනාදිය.

අසමමිතික පිරිවැය පිළිබඳ සටහනක්

ඔබ සාමාන්‍යයෙන් සාහිත්‍යයේ සහ වෙබ් අඩවි වල සොයාගනු ඇත්තේ "බිග්-ඕ විශ්ලේෂණය" ය. නිසි යෙදුම අසමමිතික විශ්ලේෂණයකි, එයින් අදහස් කරන්නේ අප උදාහරණවල දී මෙන් නිශ්චිත පිරිවැය ලබා ගැනීම වෙනුවට, ඔබ පිරිවැය ලබා දෙන්නේ නියත සාධකයක් දක්වා සහ සීමාව තුළ පමණි (දළ වශයෙන් කිවහොත්, “විශාල ”).$n$

යන්ත්රය, මෙහෙයුම් පද්ධතිය සහ වෙනත් සාධක මත පදනම්ව වියුක්ත ප්රකාශයන් යථාර්ථයේ සමහර (සාමාන්යයෙන් නොදන්නා) පිරිවැයක් ඇති බැවින් මෙය (බොහෝ විට) සාධාරණ වන අතර , ක්රියාත්මක වන ක්රියාවලිය මුලින් ම ක්රියාත්මක කිරීම සහ වොට්නොට් විසින් කෙටි ධාවන කාලයන් ආධිපත්යය දරයි. ඒ නිසා ඔබට කෙසේ හෝ කරදරයක් ඇති වේ.

අසමමිතික විශ්ලේෂණය මෙම ප්‍රවේශයට සම්බන්ධ වන ආකාරය මෙන්න.

1. අධිපති මෙහෙයුම් (පිරිවැය ඇති කරන) හඳුනා ගන්න , එය බොහෝ විට සිදුවන මෙහෙයුම් (නියත සාධක දක්වා). බබල්සෝර්ට් උදාහරණයේ දී, කළ හැකි එක් තේරීමක් වන්නේ 5 වන පේළියේ සංසන්දනයයි.

   විකල්පයක් ලෙස, මූලික මෙහෙයුම් සඳහා වන සියළුම නියතයන් ඒවායේ උපරිම (ඉහළ සිට) බැඳ තබන්න. ඒවායේ අවම (පහළ සිට) සහ සුපුරුදු විශ්ලේෂණය සිදු කරන්න.

2. මෙම මෙහෙයුමේ පිරිවැය ගණනය කිරීමක් ලෙස විශ්ලේෂණය සිදු කරන්න.
3. සරල කිරීමේදී, ඇස්තමේන්තු කිරීමට ඉඩ දෙන්න. ඔබේ ඉලක්කය ඉහළ සීමාවක් ( ) ප්‍රතිචාරයක් නම් ඉහළින් ඇස්තමේන්තු කිරීමට පමණක් ඉඩ දෙන්න . ඔබට පහළ සීමාවන් අවශ්‍ය නම් ( ) පහළ සිට .$O$$\Omega$

ලන්ඩෝ සංකේතවල තේරුම ඔබ තේරුම් ගෙන ඇති බවට වග බලා ගන්න . අවස්ථා තුනටම එවැනි සීමාවන් පවතින බව මතක තබා ගන්න ; භාවිතා කිරීම නරකම විශ්ලේෂණයක් අදහස් නොකරයි.$O$

වැඩිදුර කීයවීම

ඇල්ගොරිතම විශ්ලේෂණයේ තවත් බොහෝ අභියෝග සහ උපක්‍රම තිබේ. මෙන්න නිර්දේශිත කියවීමකි.

• ඇල්ගොරිතම වල ධාවන කාලය සමඟ පැමිණෙන්නේ කෙසේද?
  ඇල්ගොරිතම විස්තර කරන්නේ කෙසේද, ඒවා ඔප්පු කරන්නේ කෙසේද සහ විශ්ලේෂණය කරන්නේ කෙසේද?
• ඇල්ගොරිතම දෙකක් සංසන්දනය කිරීම සඳහා ධාවන කාලය වෙනුවට සැසඳීම් භාවිතා කරන්නේ ඇයි?
  සංඛ්‍යා පිළිබඳ මූලික මෙහෙයුම් නියත කාලයක් ගතවනු ඇතැයි අපි උපකල්පනය කරන්නේ කෙසේද?
  ධාවන කාල විශ්ලේෂණයේ එක් කාල සීමාවක් යනු කුමක්ද?
• සංඛ්‍යා අනුපිළිවෙල සඳහා පුනරාවර්තන සම්බන්ධතා විසඳීම හෝ ආසන්න කිරීම
• ක්‍රමක්ෂය විශ්ලේෂණයේ මූලික කරුණු

ඇල්ගොරිතම-විශ්ලේෂණය ටැග් කර ඇති බොහෝ ප්‍රශ්න මේ හා සමාන තාක්‍ෂණික ක්‍රම භාවිතා කරයි.

ප්‍රකාශ ක්‍රියාත්මක කිරීමේ ගණන්

ඩොනල්ඩ් ඊ. නූත් විසින් රචිත The Art of Computer Programming කතා මාලාවේ තවත් ක්‍රමයක් තිබේ . සමස්ත ඇල්ගොරිතම එක් සූත්‍රයකට පරිවර්ථනය කිරීමට ප්‍රතිවිරුද්ධව , එය “දේවල් එකට එකතු කිරීම” පැත්තේ ඇති කේතයේ අර්ථ නිරූපණයෙන් ස්වාධීනව ක්‍රියා කරන අතර අවශ්‍ය විටෙක පමණක් පහත් මට්ටමකට යාමට ඉඩ සලසයි. සෑම ප්‍රකාශයක්ම අනෙක් ඒවායින් ස්වාධීනව විශ්ලේෂණය කළ හැකි අතර එය වඩාත් පැහැදිලි ගණනය කිරීම් වලට තුඩු දෙයි. කෙසේ වෙතත්, තාක්‍ෂණය එතරම් සවිස්තරාත්මක කේතයකට නැඹුරු වන අතර එතරම් ඉහළ මට්ටමේ ව්‍යාජ කේතයක් නොවේ.

ක්රමය

ප්‍රතිපත්තිමය වශයෙන් එය තරමක් සරල ය:

1. සෑම ප්රකාශයක්ම නමක් / අංකයක් ලබා දෙන්න.
2. සෑම ප්‍රකාශයක්ම යම් පිරිවැයක් .$S_i$$C_i$
3. සෑම ප්‍රකාශයක් සඳහාම තීරණය කරන්න එහි ක්‍රියාත්මක කිරීම් ගණන .$S_i$$e_i$

4. මුළු පිරිවැය ගණනය කරන්න

   $\qquad\displaystyle C = \sum_{i} e_i \cdot C_i$ .

ඔබට ඕනෑම වේලාවක ඇස්තමේන්තු සහ / හෝ සංකේතාත්මක ප්‍රමාණ ඇතුළත් කළ හැකිය. ප්‍රති result ලය ඒ අනුව සාමාන්‍යකරණය කිරීම.

3 වන පියවර අත්තනෝමතික ලෙස සංකීර්ණ විය හැකි බව මතක තබා ගන්න. ලබා ගැනීම සඳහා හි " as" වැනි (අසමමිතික) ඇස්තමේන්තු සමඟ වැඩ කිරීමට .$e_{77} \in O(n \log n)$

උදාහරණය: ගැඹුරේ පළමු සෙවීම

පහත දැක්වෙන ප්‍රස්ථාර-ගමන් ඇල්ගොරිතම සලකා බලන්න:

dfs(G, s) do
  // assert G.nodes contains s
  visited = new Array[G.nodes.size]     1
  dfs_h(G, s, visited)                  2
end 

dfs_h(G, s, visited) do
  foo(s)                                3
  visited[s] = true                     4

  v = G.neighbours(s)                   5
  while ( v != nil ) do                 6
    if ( !visited[v] ) then             7
      dfs_h(G, v, visited)              8
    end
    v = v.next                          9
  end
end

(Ure නෝඩ් වල ඇති යාබද ලැයිස්තු මගින් (යොමු නොකළ) ප්‍රස්ථාරය ලබා දී ඇතැයි අපි උපකල්පනය කරමු . ඉඩ දාර සංඛ්යාව විය.$\{0,\dots,n-1\}$$m$

ඇල්ගොරිතම දෙස බැලීමෙන් අපට පෙනී යන්නේ සමහර ප්‍රකාශ අනෙක් ඒවා මෙන් සමානව ක්‍රියාත්මක වන බවයි. ක්‍රියාත්මක කිරීමේ ගණන් කිරීම සඳහා අපි , සහ කිහිපයක් හඳුන්වා දෙන්නෙමු :$A$$B$$C$$e_i$

$\qquad\begin{array}{c|ccccccccc} i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline e_i & A & A & B & B & B & B+C & C & B-1 & C \end{array}$

විශේෂයෙන්, 8 වන පේළියේ ඇති සෑම පුනරාවර්තන ඇමතුම 3 වන පේළියේ ඇමතුමක් ඇති කරයි (සහ එකක් මුල් ඇමතුම නිසා ඇතිවේ ). තවද, මන්ද යත්, නැවත නැවත එක් වරක් තත්වය පරීක්ෂා කළ යුතු නමුත් එය හැර යාම සඳහා නැවත වරක් තත්වය පරීක්ෂා කළ යුතු බැවිනි .$e_8 = e_3-1$foodfs$e_6 = e_5 + e_7$while

බව පැහැදිලිය . දැන්, නිරවද්‍යතාවය ඔප්පු කිරීමේදී අපි පෙන්වන්නේ එය එක් නෝඩයකට එක් වරක් ක්‍රියාත්මක වන බවයි; එනම්, . නමුත් පසුව, අපි සෑම යාබද ලැයිස්තුවකටම හරියටම එක් වරක් නැවත කියමු. සෑම දාරයක්ම ඇතුළත් කිරීම් දෙකක් අදහස් කරයි (එක් එක් සිදුවීම් නෝඩයට එකක්); අපට සම්පූර්ණ වශයෙන් පුනරාවර්තන ලැබේ. මෙය භාවිතා කරමින්, අපි පහත වගුව ව්‍යුත්පන්න කරමු:$A=1$foo$B = n$$C = 2m$

$\qquad\begin{array}{c|ccccccccc} i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline e_i & 1 & 1 & n & n & n & 2m + n & 2m & n-1 & 2m \end{array}$

මෙය හරියටම සම්පූර්ණ පිරිවැය වෙත අපව යොමු කරයි

$\qquad\begin{align*} C(n,m) = (C_1 + C_2 - C_8) &+\ n \cdot (C_3 + C_4 + C_5 + C_6 + C_8) \\ &+\ 2m \cdot (C_6 + C_7 + C_9) \;. \end{align*}$

සඳහා සුදුසු අගයන් අපට වඩාත් නිශ්චිත පිරිවැයක් ලබා ගත හැකිය. උදාහරණයක් ලෙස, අපට මතක ප්‍රවේශයන් ගණන් කිරීමට අවශ්‍ය නම් (එක් වචනයකට), අපි භාවිතා කරමු$C_i$

$\qquad\begin{array}{c|ccccccccc} i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline C_i & n & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}$

ලබා ගන්න

$\qquad\displaystyle C_{\text{mem}}(n,m) = 3n + 4m$ .

වැඩිදුර කීයවීම

මගේ අනෙක් පිළිතුරේ පහතින් බලන්න .

ප්‍රමේයය ඔප්පු කිරීම වැනි ඇල්ගොරිතම විශ්ලේෂණය බොහෝ දුරට කලාවකි (උදා: විශ්ලේෂණය කරන්නේ කෙසේදැයි අප නොදන්නා සරල වැඩසටහන් ( කොලට්ස් ගැටලුව වැනි ). රෆායෙල් විසින් විස්තීර්ණ ලෙස පිළිතුරු දුන් පරිදි අපට ඇල්ගොරිතම සංකීර්ණ ගැටලුවක් ගණිතමය වශයෙන් පරිවර්තනය කළ හැකිය , නමුත් දන්නා කාර්යයන් අනුව ඇල්ගොරිතමයක පිරිවැය පිළිබඳ සීමාවක් ප්‍රකාශ කිරීම සඳහා අපට ඉතිරිව ඇත්තේ:

1. අප තේරුම් ගත් පුනරාවර්තන මත පදනම්ව සීමාවන් සොයා ගැනීම හෝ අපට ගණනය කළ හැකි එකතුව / අනුකලනයන් වැනි පවත්නා විශ්ලේෂණයන්ගෙන් අප දන්නා ශිල්පීය ක්‍රම භාවිතා කරන්න .
2. විශ්ලේෂණය කිරීමට අප දන්නා දෙයකට ඇල්ගොරිතම වෙනස් කරන්න.
3. සම්පූර්ණයෙන්ම නව ප්‍රවේශයක් සමඟ එන්න.