මධ්යන්යය පමණක් තේරුම් ගන්නා කෙනෙකුට ඔබ සහසම්බන්ධය පැහැදිලි කරන්නේ කෙසේද?

222

... විචලනය පිළිබඳ ඔවුන්ගේ දැනුම බුද්ධිමය ආකාරයකින් වර්ධනය කර ගැනීමට මට හැකි යැයි උපකල්පනය කිරීම ( "විචල්‍යතාව" අවබෝධයෙන් අවබෝධ කර ගැනීම ) හෝ මෙසේ පැවසීම: එය 'මධ්යන්යයෙන්' දත්ත අගයන්හි සාමාන්‍ය දුර - සහ විචලනය චතුරස්රයේ ඇති බැවින් ඒකක, අපි ඒකක එක හා සමානව තබා ගැනීමට වර්ග මූලය ගන්නා අතර එය සම්මත අපගමනය ලෙස හැඳින්වේ.

මෙය බොහෝ දේ ප්‍රකාශ කර ඇති අතර (ලබන්නා) තේරුම් ගනී යැයි සිතමු. දැන් සහසංයුජතාවය යනු කුමක්ද සහ ගණිතමය පද / සූත්‍ර භාවිතා නොකර සරල ඉංග්‍රීසියෙන් එය පැහැදිලි කරන්නේ කෙසේද? (එනම්, බුද්ධිමය පැහැදිලි කිරීම .;)

කරුණාකර සටහන් කරන්න: සංකල්පය පිටුපස ඇති සූත්‍ර සහ ගණිතය මම දනිමි. ගණිතය ඇතුළත් නොකර පහසුවෙන් තේරුම් ගත හැකි ආකාරයකින් එය 'පැහැදිලි කිරීමට' මට අවශ්‍යය; එනම්, 'සහසම්බන්ධය' යන්නෙන් අදහස් කරන්නේ කුමක්ද?

variance covariance intuition

— ආචාර්ය උපාධිය
source

1

I ෂියාන් - සරල රේඛීය ප්‍රතිගාමීතාවයකින් ඔබ එය හරියටම අර්ථ දක්වන්නේ කෙසේද? මම දැනගන්න කැමතියි ...

— PhD

3

(0,0) හි මූලාරම්භය සහිත x එදිරිව y හි ඔබේ විචල්යයන් දෙකෙහි විසිරුම් අවකාශයක් ඔබ සතුව ඇතැයි උපකල්පනය කර , x = මධ්යන්ය (x) (සිරස්) සහ y = මධ්යන්ය (x) (තිරස්) දී පේළි දෙකක් අඳින්න: මෙම නව ඛණ්ඩාංක ක්‍රමය භාවිතා කරමින් (සම්භවය (මධ්‍යන්‍ය (x), මධ්‍යන්‍ය (y)), ඉහළ-දකුණේ සහ පහළ-වම් හතරැස් වල “+” ලකුණක් තබන්න, අනෙක් චතුරස්ර දෙකෙහි “-” ලකුණක් තබන්න; ඔබට සහසංයුජයේ ලකුණ ලැබී ඇති අතර එය මූලික වශයෙන් @ පීටර් පැවසූ දෙයයි . x- සහ y- ඒකක (SD මගින්)

— පරිමාණය

1

@chl - කරුණාකර ඔබට එය පිළිතුරක් ලෙස පළ කර එය නිරූපණය කිරීමට ග්‍රැෆික්ස් භාවිතා කළ හැකිද!

— PhD

වියුක්ත පැහැදිලි කිරීම් වලට වඩා රූපවලට වැඩි කැමැත්තක් දක්වන බැවින් මට උදව් කිරීමට මෙම වෙබ් අඩවියේ වීඩියෝව මට හමු විය. වීඩියෝව සහිත වෙබ් අඩවිය විශේෂයෙන් මෙම රූපය : ! [රූප විස්තරය මෙහි ඇතුළත් කරන්න ] ( i.stack.imgur.com/xGZFv.png )

— කාල් මොරිසන්

403

සමහර විට අපට අසාමාන්‍ය හෝ වෙනස් ප්‍රවේශයකින් “දැනුම වර්ධනය” කළ හැකිය. මෙම පිළිතුර බාලාංශ ළමයින්ට ප්‍රවේශ විය හැකි අතර විනෝද වීමටද මම කැමතියි, එබැවින් සෑම කෙනෙකුම ඔබේ ඉරිතැලීම් වලින් ඉවත් වන්න!

යුගලනය කරන ලද දත්ත ලබා දී, ඒවායේ විසිරුම් ස්ථානය අඳින්න. . (මෙම තරුණ සිසුන් ලකුණු එක් එක් යුගලය ඔවුන් වෙනුවෙන් මෙම නිෂ්පාදනය කිරීමට ගුරුවරයෙකු අවශ්ය විය හැක :-) , බව කුමන්ත්රණයක් තුළ සෘජුකෝණාස්රය තීරණය: එය කාගේ දෙපාර්ශ්වයම සමාන්තර කුඩාම සෘජුකෝණාස්රයක්, තියෙන්නේ එම ලක්ෂ්‍ය අඩංගු අක්ෂ. මේ අනුව ලකුණු එක්කෝ ඉහළ දකුණේ සහ පහළ වම් කොනෙහි (“ධනාත්මක” සම්බන්ධතාවයක්) හෝ ඉහළ වම් සහ පහළ දකුණු කොනෙහි (“negative ණ” සම්බන්ධතාවයක්) ඇත. $(x,y)$ $(x_i,y_i)$ $(x_j,y_j)$

එවැනි සෘජුකෝණාස්රා අඳින්න. ධනාත්මක සෘජුකෝණාස්රා රතු (කියන්න) සහ සෘණ සෘජුකෝණාස්රා "රතු-විරෝධී" (නිල්) බවට පත් කරමින් ඒවා විනිවිද පෙනෙන ලෙස වර්ණවත් කරන්න. මෙම විලාසිතාවේ, සෘජුකෝණාස්රාකාර ඕනෑම තැනක, ඒවායේ වර්ණ එක සමාන වන විට (නිල් සහ නිල් හෝ රතු සහ රතු) වැඩි දියුණු වේ හෝ වෙනස් වූ විට අවලංගු වේ.

ධනාත්මක හා සෘණ සෘජුකෝණාස්රා

( ධනාත්මක (රතු) සහ negative ණ (නිල්) සෘජුකෝණාස්රයක මෙම නිදර්ශනයේ දී, අතිච්ඡාදනය සුදු විය යුතුය; අවාසනාවකට මෙන්, මෙම මෘදුකාංගයට සැබෑ "රතු-විරෝධී" වර්ණයක් නොමැත. අතිච්ඡාදනය අළු පැහැයක් ගනී, එබැවින් එය අඳුරු වේ කුමන්ත්‍රණය, නමුත් සමස්තයක් ලෙස රතු ප්‍රමාණය ශුද්ධ වේ. )

දැන් අපි සහසංයුජතාව පැහැදිලි කිරීම සඳහා සූදානම්.

සහසංයුජ යනු බිම් කොටසේ රතු ප්‍රමාණයයි (නිල් negative ණ අගයන් ලෙස සලකයි).

ලබා දී ඇති සහසංයුජයන් සමඟ බෙදාහැරීම් වලින් ලබාගත් ද්විමය ලකුණු 32 ක් සහිත උදාහරණ කිහිපයක් මෙන්න, බොහෝ negative ණ (නිල්) සිට වඩාත් ධනාත්මක (රතුම) දක්වා ඇණවුම් කර ඇත.

ඒවා සංසන්දනය කිරීම සඳහා පොදු අක්ෂ මත ඇදී යයි. සෘජුකෝණාස්රා ඔබට ඒවා දැකීමට උපකාරී වන පරිදි සැහැල්ලුවෙන් දක්වා ඇත. මෙය මුල් පිටපතෙහි යාවත්කාලීන කරන ලද (2019) අනුවාදයකි: එය අතිච්ඡාදනය වන සෘජුකෝණාස්රා වල රතු සහ සයන් වර්ණ නිසි ලෙස අවලංගු කරන මෘදුකාංග භාවිතා කරයි.

සහසංයුජයේ සමහර ගුණාංග අඩු කරමු. මෙම ගුණාංග පිළිබඳ අවබෝධය ඇත්ත වශයෙන්ම සෘජුකෝණාස්රා කිහිපයක් ඇඳ ඇති ඕනෑම කෙනෙකුට ප්‍රවේශ විය හැකිය. :-)

ද්විභාෂාව. රතු ප්‍රමාණය කුමන්ත්‍රණයේ ප්‍රමාණය මත රඳා පවතින හෙයින්, සහසංයුජතාව x- අක්ෂයේ පරිමාණයට සහ y- අක්ෂයේ පරිමාණයට කෙලින්ම සමානුපාතික වේ.
සහසම්බන්ධය. ලක්ෂ්‍ය ඉහළට බෑවුම් රේඛාවක් ආසන්න වන විට සහසංයුජ වැඩි වන අතර ලක්ෂ්‍ය පහළට බෑවුම් රේඛාවක් ආසන්න වන විට අඩු වේ. මෙයට හේතුව, කලින් අවස්ථාවෙහිදී බොහෝ සෘජුකෝණාස්රා ධනාත්මක වන අතර දෙවැන්න බොහෝ විට .ණ වේ.
රේඛීය සංගම් සමඟ සම්බන්ධතාවය. රේඛීය නොවන සංගම්වලට ධනාත්මක හා negative ණාත්මක සෘජුකෝණාස්රා වල මිශ්‍රණ නිර්මාණය කළ හැකි බැවින්, ඒවා අනපේක්ෂිත (සහ එතරම් ප්‍රයෝජනවත් නොවන) සහසංයුජයන්ට මග පාදයි. රේඛීය සංගම් පූර්ව ලක්ෂණ දෙක මගින් සම්පූර්ණයෙන්ම අර්ථ දැක්විය හැකිය.
පිටස්තරයින්ට සංවේදීතාව. ජ්‍යාමිතික පිටස්තරයෙකු (එක් ලක්ෂ්‍යයක් ස්කන්ධයෙන් standing ත්වී සිටීම) අනෙක් සියලුම ලක්ෂ්‍ය සමඟ සම්බන්ධව විශාල සෘජුකෝණාස්රා නිර්මාණය කරයි. එය පමණක් සමස්ත පින්තූරයේ ශුද්ධ ධනාත්මක හෝ negative ණාත්මක රතු ප්‍රමාණයක් නිර්මාණය කළ හැකිය.

අහඹු ලෙස, සහසංයුජතාවයේ මෙම අර්ථ දැක්වීම සුපුරුදු දෙයට වඩා වෙනස් වන්නේ සමානුපාතිකයේ විශ්වීය නියතයකින් පමණි (දත්ත කට්ටල ප්‍රමාණයෙන් ස්වාධීන). මෙහි දී ඇති සූත්‍රය සැමවිටම සුපුරුදු සහසංයුජ මෙන් දෙගුණයක් බව වීජීය නිරූපණය කිරීමට ගණිතමය වශයෙන් නැඹුරුවීමට කිසිදු ගැටළුවක් නොමැත.

— whuber
source

22

දැන් සියලු හඳුන්වාදීමේ සංඛ්‍යානමය සංකල්ප පමණක් සිසුන්ට ඉදිරිපත් කළ හැකි නම්…

— MannyG

4

මේක ලස්සනයි. සහ ඉතා පැහැදිලිය.

— බෙන්ජමින් මාකෝ හිල්

3

වීජ ගණිතය සිදු කිරීමෙන් පසු, "සමානුපාතිකයේ විශ්වීය නියතය (දත්ත කට්ටල ප්‍රමාණයෙන් ස්වාධීනව) නොමඟ යවන සුළුදැයි මම කල්පනා කරමි, එබැවින් මම ක්‍රියා පටිපාටිය නිවැරදිව වටහාගෙන ඇත්දැයි පරීක්ෂා කිරීමට මට අවශ්‍යය. {(0,0), (1,1), (2,2) For සඳහා = 3 1, 1 සහ 4 යන ප්‍රදේශවල සෘජුකෝණාස්රා 3 ක් ඇත. ඒවා සියල්ලම රතු නිසා "සහසංයුජතාව" යනු 6. සහ 0 (0,0), (1,1), (1,1), (2,2)} සතුව = 6 සෘජුකෝණාස්රා, සියල්ලම රතු හෝ ශුන්‍ය, 0, 1 , 1, 1, 1 සහ 4 එබැවින් "සහසංයුජතාව" 8 වේ. මෙය නිවැරදිද? එසේ නම් එය .

(\binom{3}{2})

$3\choose{2}$

(\binom{4}{2})

$4\choose{2}$

\sum_{i < j} (x_{i} - x_{j}) (y_{i} - y_{j})

$\sum_{i<j}(x_i-x_j)(y_i-y_j)$

— සිල්වර්ෆිෂ්

3

ස්තූතියි, මෙය මා සැක කළ පරිදි. I ට වඩා සියල්ල අත්පත් කර ගන්නේ නම් 2 ක අතිරේක සාධකයක් එළියට එන බව මම තේරුම් ගතිමි . මම සිතන්නේ අනෙක් අවිනිශ්චිතතාව වන්නේ "යුගලය" ගණනය කරන්නේද යන්නයි - සෘජුකෝණාස්රයේ ප්‍රදේශය ශුන්‍ය වේ, නමුත් සාරාංශ කිරීම වෙනුවට සාමාන්‍යය නම් පැහැදිලිවම වෙනසක් සිදු වේ! අහඹු ලෙස මම සහසංයුජතාව උගන්වන විට මම “ධනාත්මක හා සෘණ සෘජුකෝණාස්රාකාර” ප්‍රවේශයද භාවිතා කරමි, නමුත් එක් එක් දත්ත ලක්ෂ්‍යයන් මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යය සමඟ යුගලනය කරමි . මෙය සමහර සම්මත සූත්‍ර වලට වඩාත් ප්‍රවේශ විය හැකි බව මට පෙනේ, නමුත් සමස්තයක් වශයෙන් මම ඔබේ ක්‍රමයට කැමැත්තෙමි.

i, j

$i, j$

i < j

$i<j$

(i, i)

$(i,i)$

— සිල්වර්ෆිෂ්

4

cofcoppens ඇත්ත වශයෙන්ම, ඔබ යෝජනා කරන පරිදි ඉදිරියට යන සාම්ප්‍රදායික පැහැදිලි කිරීමක් තිබේ. මම මේ ගැන සිතුවේ අනවශ්‍ය අදහසක් හඳුන්වා දීමට මා අකමැති වූ නිසාය - එනම්, සෙන්ට්‍රොයිඩ් තැනීම . එය පහක් වයසැති ක්‍රෙයොන්ස් පෙට්ටියක් සමඟ පැහැදිලි කිරීම ලබා ගත නොහැකි වනු ඇත. මම අවසානයේ ගත් සමහර නිගමන ක්ෂණිකව නොවනු ඇත. නිදසුනක් වශයෙන්, සහසම්බන්ධය ඇතැම් වර්ගවල පිටස්තරයින්ට සංවේදී බව තවදුරටත් පැහැදිලිව පෙනෙන්නට නැත.

(\bar{x}, \bar{y})

$(\bar x, \bar y)$

— whuber

65

මගේ අදහස විස්තාරනය කිරීම සඳහා, සහ යැයි කියනු ලබන විචල්‍යයන් දෙකක් අතර (සාමාන්‍ය) සහසම්බන්ධතාවයේ මිනුමක් ලෙස මම සහසංයුජතාව ඉගැන්වීමට පුරුදුව සිටියෙමි . $x$ $y$

මූලික සූත්‍රය සිහිපත් කිරීම ප්‍රයෝජනවත් වේ (පැහැදිලි කිරීමට සරලයි, හඳුන්වාදීමේ පා course මාලාවක් සඳහා ගණිතමය අපේක්ෂාවන් ගැන කතා කිරීමට අවශ්‍ය නැත):

cov (x, y) = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})

$\text{cov}(x,y)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)$

සහ යන විචල්‍යයන් දෙකේ මධ්‍යන්‍යයෙන් අපගමනය වීමේ නිෂ්පාදිතය මත පදනම්ව , සෑම නිරීක්ෂණයක්ම ධනාත්මක හෝ නිෂේධාත්මකව දායක විය හැකි බව අපට පැහැදිලිව පෙනේ . මා මෙහි කතා කරන්නේ විශාලත්වය ගැන නොව හුදෙක් නිරීක්ෂණයේ දායකත්වයේ ලකුණක් බව සලකන්න. $(x_i,y_i)$ $\bar x$ $\bar y$

පහත රූපසටහන් වල මා නිරූපණය කර ඇත්තේ මෙයයි. කෘතිම දත්ත රේඛීය ආකෘතිය (ඉතිරි, භාවිතා උත්පාදනය වී හරි,; , කොහෙද ශුන්ය සමග gaussian බෙදා පහත් සහ සිට ඇදී , සහ පරතරය මත ඒකාකාර බෙදාහැරීමකින් ). $y = 1.2x + \varepsilon$ $y = 0.1x + \varepsilon$ $\varepsilon$ $\text{SD}=2$ $x$ $[0,20]$

රූප විස්තරය මෙහි ඇතුළත් කරන්න

සිරස් සහ තිරස් තීරු පිළිවෙලින් සහ මධ්‍යන්‍ය නියෝජනය කරයි . එහි අර්ථය වන්නේ ආරම්භයේ සිට “තනි නිරීක්ෂණ දෙස බැලීම” වෙනුවට අපට එය කළ හැක්කේ . මෙය x- සහ y- අක්ෂයේ පරිවර්තනයකට සමාන වේ. මෙම නව ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය තුළ, ඉහළ-දකුණේ හෝ පහළ-වම් චතුරස්රයේ පිහිටා ඇති සෑම නිරීක්ෂණයක්ම සහසංයුජයට ධනාත්මක දායකත්වයක් සපයන අතර අනෙක් චතුරස්ර දෙකෙහි ඇති නිරීක්ෂණ එයට negative ණාත්මක ලෙස දායක වේ. පළමු අවස්ථාවෙහිදී (වමේ), සහසංයුජතාව 30.11 ට සමාන වන අතර චතුරස්රාකාර හතරේ ව්‍යාප්තිය පහත දැක්වේ: $x$ $y$ $(0,0)$ $(\bar x, \bar y)$

   +  -
+ 30  2
-  0 28

පැහැදිලිවම, ගේ මධ්‍යන්‍යයට වඩා ඉහළින් ඇති විට, අනුරූපී ගේ (wrt. ) කරන්න. අගයන් වැඩි වන විට අගයන් ද වැඩි වන විට ලක්ෂ්‍ය 2D වලාකුළෙහි හැඩය ඇස ගැසීම . (නමුත් මතක තබා ගන්න, සහසංයුජතාව සහ ප්‍රතිගාමී රේඛාවේ බෑවුම අතර පැහැදිලි සම්බන්ධතාවයක් ඇති බව, එනම් . $x_i$ $y_i$ $\bar y$ $x$ $y$ $b=\text{Cov}(x,y)/\text{Var}(x)$

දෙවන අවස්ථාවෙහිදී (දකුණේ, එකම ), සහසංයුජතාව 3.54 ට සමාන වන අතර පහත දැක්වෙන පරිදි චතුරස්රයන් හරහා බෙදා හැරීම වඩා "සමජාතීය" වේ: $x_i$

   +  -
+ 18 14
- 12 16

වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, එහිදී නඩුවේ ගාස්තු වැඩි සංඛ්යාවක් පවතින බවත් ගේ හා ගේ එකම දිශාවට wrt දී covary නැහැ. ඔවුන්ගේ මාධ්‍යයන්. $x_i$ $y_i$

හෝ පරිමාණයෙන් අපට සහසංයුජතාව අඩු කළ හැකි බව සලකන්න . වම් පුවරුවේ (හෝ ) හි සහසංයුජ දස ගුණයකින් (3.01) අඩු වේ. මිනුම් ඒකක සහ සහ පැතිරීම (ඒවායේ මාධ්‍යයන්ට සාපේක්ෂව) සහසංයුජයේ වටිනාකම නිරපේක්ෂ අර්ථයෙන් අර්ථ නිරූපණය කිරීම දුෂ්කර වන හෙයින්, අපි සාමාන්‍යයෙන් විචල්‍යයන් දෙකම ඒවායේ සම්මත අපගමනය අනුව පරිමාණය කර සහසම්බන්ධතා සංගුණකය ලබා ගනිමු. මෙයින් අදහස් කරන්නේ අපගේ විසිරුම් ස්ථානය වෙත නැවත කේන්ද්‍රගත කිරීමට අමතරව $x$ $y$ $(x/10,y)$ $(x,y/10)$ $x$ $y$ $(x,y)$ $(\bar x, \bar y)$ අපි x- හා y- ඒකකය සම්මත අපගමනය අනුව පරිමාණය කරන්නෙමු, එය සහ අතර රේඛීය සහසංයුජතාව වඩාත් අර්ථකථනය කළ හැකි මිනුමකට මග පාදයි . $x$ $y$

— chl
source

32

කෝවරියන්ස් යනු එක් විචල්‍යයක් අනෙක් ඉහළට යන විට කොපමණ ප්‍රමාණයක් ඉහළ යනවාද යන්න මැනීමකි.

— පීටර් Flom
source

2

එය සැමවිටම එකම දිශාවකටද? එසේම, ප්‍රතිලෝම සම්බන්ධතා සඳහාද එය අදාළ වේද (එනම්, එකක් ඉහළට යන විට අනෙකා පහළට යයි)?

— PhD

4

upnupul හොඳයි, “ඉහළට” ප්‍රතිවිරුද්ධ දෙය “පහළට” සහ “ධනාත්මක” හි ප්‍රතිවිරුද්ධතාව “.ණ” වේ. මම එක වාක්‍යයකට පිළිතුරක් දීමට උත්සාහ කළෙමි. ඔබේ දේ වඩාත් සම්පූර්ණයි. ඔබේ "විචල්‍යයන් දෙකක් එකට වෙනස් වන ආකාරය" පවා වඩාත් සම්පූර්ණයි, නමුත්, මම හිතන්නේ තේරුම් ගැනීමට ටිකක් අපහසුයි.

— පීටර් ෆ්ලොම්

4

එය නිවැරදිය, පීටර්, ඒ නිසා comment naught101 එම ප්‍රකාශය කළේය: ඔබ විස්තරය වෙනස් වීමේ අනුපාතයක් සේ පෙනේ, එබැවින් එහි ඒකක [එක් විචල්‍යයක ඒකක] / [අනෙක් විචල්‍යයේ ඒකක] වනු ඇත (අපි එය ව්‍යුත්පන්නයක් ලෙස අර්ථකථනය කරන්නේ නම් ) හෝ [එක් විචල්‍යයක ඒකක] වනු ඇත (අප පිරිසිදු වෙනසක් ලෙස අර්ථ නිරූපණය කරන්නේ නම්). ඒවා සහසංයුජ නොවේ (ඒවායේ මිනුම් ඒකකය විචල්යයන් දෙක සඳහා ඒකකවල නිෂ්පාදනයක් වේ) හෝ සහසම්බන්ධය (ඒකකය රහිත).

— whuber

2

ඔබ විචල්ය වන covariance දැන සිතමු: ඕනෑම කොන්ක්රීට් උදාහරණයක් සලකා බලන්න @nbro හා යනු උදාහරණයක්. “විචල්‍යය” සහ “ඉහළට යන්න” පිළිබඳ වඩාත් ත්‍යාගශීලී අවබෝධය තිබියදීත්, එක්තරා ප්‍රමාණයකින් ඉහළ යන විට කොපමණ ඉහළ යනවාද යන්න ඔබට එම තොරතුරු වලින් පමණක් පැවසිය හැකිද? පිළිතුර නැත: එය ඔබට ලබා දෙන එකම තොරතුරු වන්නේ වැඩි වීමට නැඹුරු වීමයි. මෙම ලිපියෙන් පීටර් සහසම්බන්ධය ප්‍රතිගාමී සංගුණකය සමඟ පටලවා ඇත (එයින් දෙකක් ඇත, මාර්ගය වන විට ඒවා සාමාන්‍යයෙන් වෙනස් වේ).

X

$X$

Y

$Y$

1,

$1,$

Y

$Y$

X

$X$

Y

$Y$

— whuber

3

ronbro Covariance යනු ද්විමය අහඹු විචල්‍යයක දෙවන කේන්ද්‍රීය අවස්ථාවයි. හා ඒ ආරම්භයේ ප්රතිලාභ අපට: ආකාරය එක් යම්කිසි පස් හැවිරිදි මෙම නිවැරදි අර්ථ දැක්වීම ලැබෙන්නෙ? සෑම විටම මෙන්, ප්‍රකාශන ආර්ථිකය සහ නිරවද්‍යතාවය අතර හුවමාරුවක් තිබේ: ප්‍රේක්ෂකයාට යමක් වහාම තේරුම් ගැනීමට අවශ්‍ය සංකල්ප හෝ භාෂාව නොමැති විට, කෙසේ හෝ ඔබේ විස්තරය සමඟ එම පසුබිම පිළිබඳ පැහැදිලි කිරීමකින් ඔබ රෙදි විවීම කළ යුතුය. එය නිවැරදිව කිරීමට යම් විස්තාරණයක් අවශ්‍ය වේ. සාමාන්යයෙන් කෙටිමඟක් නොමැත.

— whuber

18

මම huhuber ගේ පිළිතුරට ප්‍රිය කළෙමි - සහසම්බන්ධය දෘශ්‍යමාන කරන්නේ කෙසේද යන්න පිළිබඳ මගේ මනසේ නොපැහැදිලි අදහසක් ඇතිවීමට පෙර, නමුත් එම සෘජුකෝණාස්රාකාර බිම් කොටස් දක්ෂයි.

කෙසේ වෙතත්, සහසංයුජතාව සඳහා වන සූත්‍රයට මධ්යන්යය ඇතුළත් වන අතර, OP හි මුල් ප්රශ්නය 'ලබන්නා' මධ්යන්ය සංකල්පය තේරුම් ගෙන ඇති බව ප්රකාශ කර ඇති හෙයින්, මම සිතුවේ එක් එක් දත්ත ලක්ෂ්යය සංසන්දනය කිරීම සඳහා වයිබර්ගේ සෘජුකෝණාස්රාකාර බිම් සැකසීමේදී මට ඉරිතැලීමක් ඇති වනු ඇති බවයි. x සහ y මාධ්‍යයන්, මෙය සහසංයුජ සූත්‍රයේ සිදුවන්නේ කුමක්ද යන්න වැඩි වශයෙන් නිරූපණය කරයි. මම හිතුවේ එය සැබවින්ම බුද්ධිමත් පෙනුමක් ඇති බවයි:

එක් එක් බිම් කොටසෙහි නිල් පැහැති තිත x (x_mean) සහ y (y_mean) හි මධ්‍යන්‍යය වේ.

සෘජුකෝණාස්රා එක් එක් දත්ත ලක්ෂ්‍යය සඳහා x - x_mean සහ y - y_mean හි අගය සංසන්දනය කරයි.

පහත දැක්වෙන විට සෘජුකෝණාස්රය හරිත වේ:

x සහ y යන දෙකම ඔවුන්ගේ මාධ්‍යයන්ට වඩා වැඩි ය
x සහ y යන දෙකම ඔවුන්ගේ මාධ්‍යයන්ට වඩා අඩුය

පහත දැක්වෙන විට සෘජුකෝණාස්රය රතු වේ:

x x_mean ට වඩා විශාල නමුත් y යනු y_mean ට වඩා අඩුය
x x_mean ට වඩා අඩු නමුත් y යනු y_mean ට වඩා වැඩිය

සහසංයුජතාව (සහ සහසම්බන්ධය) දැඩි ලෙස negative ණාත්මක හා දැඩි ලෙස ධනාත්මක විය හැකිය. ප්‍රස්ථාරය එක් වර්ණයකට වඩා අනෙක් වර්ණයට වඩා ආධිපත්‍යය දරන විට, එයින් අදහස් වන්නේ දත්ත බොහෝ දුරට ස්ථාවර රටාවක් අනුගමනය කරන බවයි.

ප්‍රස්ථාරයට රතු පැහැයට වඩා කොළ පැහැයක් තිබේ නම්, එයින් අදහස් වන්නේ x වැඩි වන විට y සාමාන්‍යයෙන් වැඩි වන බවයි.
ප්‍රස්ථාරයට කොළ පාටට වඩා රතු පැහැයක් තිබේ නම්, එයින් අදහස් වන්නේ x වැඩි වන විට y සාමාන්‍යයෙන් අඩු වන බවයි.
ප්‍රස්ථාරය එක් වර්ණයක් හෝ වෙනත් වර්ණයක් මගින් ආධිපත්‍යය දරන්නේ නැත්නම්, එයින් අදහස් වන්නේ x සහ y එකිනෙකට සම්බන්ධ වන ආකාරය පිළිබඳ රටාවක් නොමැති බවයි.

X සහ y යන විචල්‍යයන් දෙකක් සඳහා වන සහසංයුජයේ සත්‍ය අගය, මූලික වශයෙන් සියලු හරිත ප්‍රදේශ වල එකතුව සියලු රතු ප්‍රදේශයට us ණ වන අතර පසුව මුළු දත්ත ලක්ෂ්‍ය ගණනින් බෙදනු ලැබේ - ප්‍රස්ථාරයේ සාමාන්‍ය හරිතභාවය-එදිරිව-රතු පැහැය .

එම ශබ්දය / පෙනුම කෙසේද?

— capohugo
source

සහතික කර ගැනීම සඳහා, මැද නිල් පැහැති තිත සියලු ලකුණු වල සාමාන්‍යයද?

— බිග්බයර්

ඔව් එය නිවැරදිය. එක් එක් ප්‍රස්ථාර 4 හි එය වෙනස් දත්ත කට්ටල බැවින් වෙනස් වේ.

— capohugo

13

මම මා මගේ ප්රශ්නයට පිළිතුරු, නමුත් මම ඒ වනාහී, ජනතාව නිදහසට කරුණු කිහිපයක් පරීක්ෂා කිරීමට මෙම පශ්චාත් හරහා පැමිණෙන සඳහා විශාල වේවි කියලා මෙම පිටුවේ .

මම ඉතා හොඳින් ප්‍රකාශිත පිළිතුරු වලින් එකක් (පරිශීලක 'ෂොප්' විසින්) අර්ථ නිරූපණය කරමි. මම එසේ කරන්නේ එම වෙබ් අඩවිය වසා දැමුවහොත් හෝ දැන් සිට යමෙකු මෙම තනතුරට පිවිසෙන විට පිටුව පහත් වුවහොත්;)

කෝවරියන්ස් යනු විචල්‍යයන් දෙකක් එකට වෙනස් වන ආකාරය මැනීමකි. මෙය විචල්‍යතාවයට සංසන්දනය කරන්න, එය එක් මිනුමක් (හෝ විචල්‍ය) වෙනස් වන පරාසය පමණි.

සමාජ රටාවන් අධ්‍යයනය කිරීමේදී, ධනවතුන් වැඩි අධ්‍යාපනයක් ලැබිය හැකි යැයි ඔබ උපකල්පනය කළ හැකිය, එබැවින් ධනය හා අධ්‍යාපනය පිළිබඳ පියවර කෙතරම් සමීපව පවතින්නේ දැයි බැලීමට ඔබ උත්සාහ කරනු ඇත. මෙය තීරණය කිරීම සඳහා ඔබ යම් සහසම්බන්ධතාවයක් භාවිතා කරනු ඇත.

...

සංඛ්‍යාලේඛනවලට එය අදාළ වන්නේ කෙසේදැයි ඔබ ඇසූ විට ඔබ අදහස් කරන්නේ කුමක්දැයි මට විශ්වාස නැත. එය බොහෝ සංඛ්‍යාලේඛන පන්තිවල උගන්වන එක් මිනුමකි. ඔබ අදහස් කළේ, ඔබ එය භාවිතා කළ යුත්තේ කවදාද?

එකිනෙකට සාපේක්ෂව විචල්‍යයන් දෙකක් හෝ වැඩි ගණනක් වෙනස් වන ආකාරය බැලීමට අවශ්‍ය විට ඔබ එය භාවිතා කරයි.

කණ්ඩායමක සිටින පුද්ගලයින් ගැන සිතන්න. එකිනෙකා හා සසඳන විට ඒවා භූගෝලීය පිහිටීම අනුව වෙනස් වන ආකාරය දෙස බලන්න. කණ්ඩායම ක්‍රීඩා කරන විට හෝ පුහුණුවීම් කරන විට, තනි සාමාජිකයන් අතර ඇති දුර ඉතා කුඩා වන අතර ඔවුන් එකම ස්ථානයක සිටින බව අපි කියමු. ඔවුන්ගේ ස්ථානය වෙනස් වූ විට, එය සියලු පුද්ගලයින් එකට වෙනස් වේ (කියන්න, ක්‍රීඩාවකට බස් රථයක ගමන් කිරීම). මෙම තත්වය තුළ, අපි ඔවුන්ට ඉහළ මට්ටමේ සහජීවනයක් ඇති බව කියමු. නමුත් ඔවුන් සෙල්ලම් නොකරන විට, සහසංයුජ අනුපාතය සෑහෙන තරම් අඩු වනු ඇත, මන්ද ඔවුන් සියල්ලෝම විවිධ ස්ථානවලට යන්නේ විවිධ වේගයකින් ය.

එබැවින් ඉහළ මට්ටමේ නිරවද්‍යතාවයකින් ක්‍රීඩාවක් පුහුණු වන විට හෝ ක්‍රීඩා කරන විට එක් කණ්ඩායමේ සාමාජිකයෙකු සිටින ස්ථානය මත පදනම්ව ඔබට අනාවැකි කිව හැකිය. සහසංයුජ මිනුම 1 ට ආසන්න වනු ඇතැයි මම විශ්වාස කරමි. නමුත් ඔවුන් පුහුණුවීම් හෝ ක්‍රීඩා නොකරන විට, කණ්ඩායම් සාමාජිකයෙකුගේ ස්ථානය මත පදනම්ව, එක් පුද්ගලයෙකුගේ ස්ථානය පුරෝකථනය කිරීමට ඔබට වඩා කුඩා අවස්ථාවක් තිබේ. සමහර විට කණ්ඩායම් සාමාජිකයන් මිතුරන් වනු ඇති අතර, ඔවුන්ගේ වේලාවට එකට ස්ථානවලට යා හැකි බැවින් එය ශුන්‍යයට ආසන්න වනු ඇත.

කෙසේ වෙතත්, ඔබ අහඹු ලෙස එක්සත් ජනපදයේ පුද්ගලයන් තෝරාගෙන, ඔවුන්ගෙන් එක් අයෙකු අනෙකාගේ ස්ථාන අනාවැකි කීමට උත්සාහ කළහොත්, සහසම්බන්ධය ශුන්‍ය බව ඔබට පෙනී යනු ඇත. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, අහඹු ලෙස තෝරාගත් පුද්ගලයෙකු එක්සත් ජනපදයේ පිහිටීම සහ තවත් අයෙකු අතර කිසිදු සම්බන්ධයක් නොමැත.

ප්‍රතිභානය වැඩි කිරීමට උපකාරී වන තවත් එකක් ('CatofGrey' විසින්) එකතු කිරීම:

සම්භාවිතා න්‍යාය හා සංඛ්‍යාලේඛන වලදී, සහසංයුජතාව යනු අහඹු විචල්‍යයන් දෙකක් එකිනෙකට වෙනස් වන ආකාරයයි.

විචල්යයන් දෙකක් එකිනෙකට වෙනස් වීමට නැඹුරු නම් (එනම්, ඒවායින් එකක් අපේක්ෂිත අගයට වඩා ඉහළින් ඇති විට, අනෙක් විචල්‍යය එහි අපේක්ෂිත අගයට වඩා ඉහළ අගයක් ගනී), එවිට විචල්යයන් දෙක අතර සහසම්බන්ධය ධනාත්මක වනු ඇත. අනෙක් අතට, ඒවායින් එකක් අපේක්ෂිත වටිනාකමට වඩා ඉහළ අගයක් ගනී නම් සහ අනෙක් විචල්‍යය එහි අපේක්ෂිත අගයට වඩා අඩු නම්, විචල්යයන් දෙක අතර සහසම්බන්ධය .ණ වේ.

මේ දෙකම එක්ව මා මීට පෙර කවදාවත් තේරුම් නොගත් පරිදි සහසංයුජතාව තේරුම් ගෙන ඇත! සරලවම පුදුමයි !!

— ආචාර්ය උපාධිය
source

15

මෙම විස්තරයන් ගුණාත්මකව යෝජනා කළද, කනගාටුදායක ලෙස ඒවා අසම්පූර්ණ ය: ඒවා සහසම්බන්ධතාව සහසම්බන්ධයෙන් වෙන් කොට හඳුනා නොගනී (පළමු විස්තරය ඇත්ත වශයෙන්ම මේ දෙක ව්‍යාකූල කරන බවක් පෙනේ), රේඛීය සම-විචල්‍යතාවයේ මූලික උපකල්පනය ද ගෙන එන්නේ නැත . තවද, එක් එක් විචල්‍යයේ පරිමාණය මත සහසංයුජතාව (රේඛීයව) රඳා පවතින වැදගත් අංගයට ආමන්ත්‍රණය නොකරයි.

— whuber

hwhuber - එකඟයි! ඒ නිසා මගේ පිළිතුර ලෙස සලකුණු කර නැත :) (තවම නොවේ;)

— PhD

12

මම ඇත්ත වශයෙන්ම වුබර්ගේ පිළිතුරට කැමතියි, එබැවින් මම තවත් සම්පත් කිහිපයක් රැස් කර ගතිමි. කෝවරියන්ස් විචල්‍යයන් කොතරම් දුරට ව්‍යාප්ත වී ඇත්ද යන්න සහ ඒවායේ සම්බන්ධතාවයේ ස්වභාවය විස්තර කරයි.

විසිරුම් ප්‍රස්ථාරයක මධ්‍යන්‍යයෙන් නිරීක්‍ෂණය කොතරම් දුරකින් ඇත්දැයි විස්තර කිරීමට කෝවරියන්ස් සෘජුකෝණාස්රා භාවිතා කරයි:

සෘජුකෝණාස්රයකට දිගු පැති සහ ඉහළ පළල හෝ කෙටි පැති සහ කෙටි පළලක් තිබේ නම්, විචල්යයන් දෙක එකට ගමන් කරන බවට එය සාක්ෂි සපයයි.
සෘජුකෝණාස්රයකට එම විචල්යයන් සඳහා සාපේක්ෂව දිගු පැති දෙකක් සහ අනෙක් විචල්යයට සාපේක්ෂව කෙටි වන පැති දෙකක් තිබේ නම්, මෙම නිරීක්ෂණය මගින් විචල්යයන් ඉතා හොඳින් චලනය නොවන බවට සාක්ෂි සපයයි.
සෘජුකෝණාස්රය 2 වන හෝ 4 වන චතුරස්රයේ තිබේ නම්, එක් විචල්යයක් මධ්යන්යයට වඩා වැඩි නම්, අනෙක් අගය මධ්යන්යයට වඩා අඩුය. එක් විචල්‍යයක වැඩි වීම අනෙකාගේ අඩුවීමක් සමඟ සම්බන්ධ වේ.

Http://sciguides.com/guides/covariance/ හි මට මේ පිළිබඳ සිසිල් දෘශ්‍යකරණයක් හමු විය , ඔබ මධ්යන්යය දන්නේ නම් සහසංයුජ යනු කුමක්දැයි එය පැහැදිලි කරයි.

— ආතර් .00
source

7

+1 හොඳ පැහැදිලි කිරීමක් (විශේෂයෙන් හඳුන්වාදීමේ එක් වාක්‍ය සාරාංශය). සබැඳිය සිත්ගන්නා සුළුය. එය වේබැක් යන්ත්‍රයේ ලේඛනාගාරයක් නොමැති බැවින් එය අලුත් ය. Negative ණාත්මක සම්බන්ධතා සඳහා ධනාත්මක සහ නිල් සඳහා රතු පැහැය තෝරා ගැනීම දක්වාම මගේ (අවුරුදු තුනක) පිළිතුරට එය ඉතා සමීපව සමාන වන හෙයින්, එය මෙම වෙබ් අඩවියේ ඇති ද්‍රව්‍යවල (බෙදා නොගත්) ව්‍යුත්පන්නයක් යැයි මම සැක කරමි.

— whuber

4

"සිසිල් දෘශ්‍යකරණය" සබැඳිය මිය ගොස් ඇත ....

— whuber

1

@MSIS රවුමේ බෙදා හැරීම් විශාල සංඛ්‍යාවක් ඇති බැවින් එය හඳුනාගත නොහැක. නමුත් ඔබ ඒකාකාර ව්‍යාප්තිය ගැන සඳහන් කරන්නේ නම් , ගණනය කිරීමට කිසිවක් නැත, මන්ද (ඔබේ ත්‍රෙඩ් එකේ stats.stackexchange.com/q/414365/919 හි නැවත සටහන් කිරීම මට මතක ඇති පරිදි ) සහසම්බන්ධතා සංගුණකය එහි negative ණ , QED

— whuber

1

@MSIS “ක්‍රමය” යන්නෙහි අර්ථය “සමමිතියට ආයාචනයක්” නම්, පිළිතුර එය ක්‍රියාත්මක වනු ඇති නමුත් ප්‍රති result ලය රඳා පවතින්නේ බෙදා හරින ආකාරය මත ය . නිදසුනක් ලෙස, යනු සීමිත සිව්වන මොහොත සමඟ ක් පමණ බෙදාහැරීමේ සමමිතිකයක් සහිත අහඹු විචල්‍යයක් නම්, සහ එකිනෙකට සම්බන්ධ නොවිය යුතුය. උදාහරණයක් ලෙස, ට බෙදා හැරීමේ සමමිතිකයක් ක් තිබේ නම්, සහ අතර සහසම්බන්ධය ගැන සාමාන්‍ය කිසිවක් පැවසිය නොහැක ඇත්ත වශයෙන්ම, එය සහ ඇතුළත් ඕනෑම අගයක් විය හැකිය .

X

$X$

X

$X$

0

$0$

X

$X$

X^{2}

$X^2$

X

$X$

1,

$1,$

X

$X$

X^{2} :

$X^2:$

- 1

$-1$

1

$1$

— whuber

1

@MSIS සාමාන්‍යයෙන්, පැහැදිලි බෙදාහැරීමක් නොමැති විට සහ සෑම විටම පාහේ තනිකරම ගණිතමය සන්දර්භයක් තුළ යමෙක් උපකල්පනය කරන්නේ ඒකාකාර බෙදාහැරීමක් අදහස් කරන බවයි. කෝණයකින් පරාමිතිගත කරන ලද ජ්‍යාමිතික කවයක දී මූලික සිදුවීම් ස්වරූපයෙන් වන ඒවායේ සම්භාවිතාව සමාන වේ

α,

$\alpha,$

a < α \leq b

$a\lt\alpha\le b$

((b - a) \mod 2 π) / (2 π) .

$((b-a) \operatorname{mod} 2\pi)/(2\pi).$

— whuber

10

පින්තූරයක් සමඟ සහසම්බන්ධය පැහැදිලි කිරීමට තවත් උත්සාහයක් මෙන්න. පහත පින්තූරයේ ඇති සෑම පුවරුවකම x සහ y 0.8 අතර සහසම්බන්ධය සහිත ද්විභාෂා බෙදාහැරීමකින් අනුමාන කරන ලද ලකුණු 50 ක් අඩංගු වන අතර පේළියේ සහ තීරු ලේබලවල පෙන්වා ඇති පරිදි විචලනයන් ඇත. එක් එක් පුවරුවේ පහළ දකුණු කෙළවරේ සහසංයුජතාව දැක්වේ.

මෙය වැඩිදියුණු කිරීමට කැමති ඕනෑම අයෙක් ... මෙන්න R කේතය:

library(mvtnorm)

rowvars <- colvars <- c(10,20,30,40,50)

all <- NULL
for(i in 1:length(colvars)){
  colvar <- colvars[i]
  for(j in 1:length(rowvars)){
    set.seed(303)  # Put seed here to show same data in each panel
    rowvar <- rowvars[j]
    # Simulate 50 points, corr=0.8
    sig <- matrix(c(rowvar, .8*sqrt(rowvar)*sqrt(colvar), .8*sqrt(rowvar)*sqrt(colvar), colvar), nrow=2)
    yy <- rmvnorm(50, mean=c(0,0), sig)
    dati <- data.frame(i=i, j=j, colvar=colvar, rowvar=rowvar, covar=.8*sqrt(rowvar)*sqrt(colvar), yy)
    all <- rbind(all, dati)
  }
}
names(all) <- c('i','j','colvar','rowvar','covar','x','y')
all <- transform(all, colvar=factor(colvar), rowvar=factor(rowvar))
library(latticeExtra)
useOuterStrips(xyplot(y~x|colvar*rowvar, all, cov=all$covar,
                      panel=function(x,y,subscripts, cov,...){
                        panel.xyplot(x,y,...)
                        print(cor(x,y))
                        ltext(14,-12, round(cov[subscripts][1],0))
                      }))

— කෙවින් රයිට්
source

3

මම සරලවම සහසම්බන්ධය පැහැදිලි කරමි. මම කියන්නේ "සහසම්බන්ධය මගින් X සහ Y යන විචල්‍යයන් දෙකක් අතර සම්බන්ධතාවයේ ශක්තිය මනිනු ලැබේ. සහසම්බන්ධය -1 සහ 1 අතර වන අතර සම්බන්ධතාවය ශක්තිමත් වන විට නිරපේක්ෂ වටිනාකම 1 ට ආසන්න වේ. සහසම්බන්ධය යනු සම්මත අපගමනයන්ගෙන් ගුණ කළ සහසම්බන්ධය පමණි විචල්යයන් දෙක, එබැවින් සහසම්බන්ධය මානයන් රහිත වන අතර, විචල්ය X සහ විචල්ය Y සඳහා ඒකකවල නිෂ්පාදනයේ සහසංයුජතාව පවතී.

— මයිකල් ආර්. චර්නික්
source

11

රේඛීයතාව පිළිබඳ සඳහනක් නොමැති නිසා මෙය ප්‍රමාණවත් නොවන බව පෙනේ. X සහ Y අතර ශක්තිමත් චතුරස්රාකාර සම්බන්ධතාවයක් තිබිය හැකි නමුත් ශුන්‍යයේ සහසම්බන්ධයක් තිබිය හැකිය.

— mark999

2

විචල්‍යතාවය යනු අහඹු විචල්‍ය විචල්‍යයක් නිරූපණය කරන යටින් පවතින ක්‍රියාවලියේ ස්ථිතික ස්වභාවය හේතුවෙන් අහඹු ලෙස විචල්‍ය අපේක්ෂිත අගයට සාපේක්ෂව වෙනස් වන උපාධියයි.

කෝවරියන්ස් යනු එකිනෙකට සාපේක්ෂව වෙනස් අහඹු විචල්‍යයන් දෙකක් වෙනස් වන උපාධියයි. අහඹු විචල්‍යයන් එකම යටින් පවතින ක්‍රියාවලියක් හෝ එහි ව්‍යුත්පන්නයන් මගින් මෙහෙයවන විට මෙය සිදුවිය හැකිය. එක්කෝ මෙම අහඹු විචල්‍යයන් මගින් නිරූපණය කෙරෙන ක්‍රියාවලීන් එකිනෙකාට බලපායි, නැතහොත් එය එකම ක්‍රියාවලියක් වන නමුත් අහඹු විචල්‍යයන්ගෙන් එකක් අනෙකාගෙන් ව්‍යුත්පන්න වේ.

— කිංස්
source

0

ඉහළ ධනාත්මක සහසම්බන්ධතාවයක් (සහසම්බන්ධතාවයක්) ඇති විචල්‍යයන් දෙකක් වනුයේ කාමරයක සිටින පුද්ගලයින්ගේ සංඛ්‍යාව සහ කාමරයේ ඇති ඇඟිලි ගණනයි. (පුද්ගලයින්ගේ සංඛ්‍යාව වැඩි වන විට ඇඟිලි සංඛ්‍යාවද ඉහළ යනු ඇතැයි අපි අපේක්ෂා කරමු.)

Negative ණාත්මක සහසම්බන්ධතාවයක් (සහසම්බන්ධතාවයක්) තිබිය හැකි දෙයක් පුද්ගලයෙකුගේ වයස විය හැකි අතර ඔවුන්ගේ හිසෙහි කෙස් කළඹ ගණන වේ. නැතහොත්, පුද්ගලයෙකුගේ මුහුණේ ඇති සයිට් ගණන (එක්තරා වයස් කාණ්ඩයක), සහ සතියකට ඔවුන් කොපමණ දින ගණනක් තිබේද යන්න. අපි බලාපොරොත්තු වන්නේ අවුරුදු ගණනක් ඇති පුද්ගලයින්ට අඩු හිසකෙස් ඇති බවත්, කුරුලෑ ඇති අය අඩු දිනයන් ඇති බවත් ය.

— ආදම්
source

3

සහසම්බන්ධය සහසම්බන්ධය සමඟ අත්‍යවශ්‍යයෙන්ම හුවමාරු විය නොහැක - කලින් ඇති දේ ඉතා ඒකක මත රඳා පවතී. සහසම්බන්ධය යනු සහසම්බන්ධිත IMO හි 'ශක්තිය' නිරූපණය කරන ඒකක -1 ට අඩු පරිමාණයක් වන අතර එය ඔබේ පිළිතුරෙන් පැහැදිලි නැත

— PhD

1

පිළිතුර ලෙස පහත් කොට දැක්වීමෙන් ගම්‍ය වන්නේ සහසම්බන්ධය සහ සහසම්බන්ධය එකිනෙකට වෙනස් ලෙස භාවිතා කළ හැකි බවයි.

— sapo_cosmico