සුපිරි මාරියෝ ගැලැක්සි ගැටලුව

140

මාරියෝ ග්‍රහලෝකයක මතුපිට ඇවිදිනවා යැයි සිතමු. ඔහු දන්නා ස්ථානයක සිට ස්ථාවර දිශාවකට, කලින් තීරණය කළ දුරක් සඳහා ඇවිදීමට පටන් ගන්නේ නම්, ඔහු නතර වන්නේ කොතැනින්දැයි අපට කෙතරම් ඉක්මනින් තීරණය කළ හැකිද?

වඩාත් විධිමත් ලෙස, අපට උත්තල බහුඅවයවයක් ලබා දී ඇතැයි සිතමු 3-අවකාශය, ආරම්භක ලක්ෂ්යය දී මතුපිට , මඟ දෛශික (අඩංගු සමහර අංගයක් වන ගුවන් යානය තුළ ), සහ දුර . මාරියෝගේකුමන මුහුණතඇතුළත නතරවේදැයි අපට කෙතරම් ඉක්මනින් තීරණය කළහැකිද? (තාක්ෂණික කරුණක් ලෙස, මාරියෝ හි සිරස් තලයකට ගියහොත්ඔහු වහාම පුපුරා යයි; වාසනාවකට මෙන් මෙයකිසි විටෙකත්සිදු නොවේ.) $P$ $s$ $P$ $v$ $p$ $\ell$ $P$ $P$

හෝ ඔබ කැමති නම්,: අපි polytope ලබා දී ඇත සිතමු , මූලාශ්ර අවස්ථාවක , සහ දිශාව දෛශික කල්තියා. Preprocessing පසු, කොතරම් ඉක්මනින් අපි ලබා දී දුර ප්රශ්නය පිළිතුරු දිය හැක ? $P$ $s$ $v$ $\ell$

මාරියෝගේ අඩිපාර සොයා ගැනීම පහසුය, විශේෂයෙන් සතුව ඇත්තේ ත්‍රිකෝණාකාර මුහුණුවරක් නම්. මාරියෝ එහි එක් දාරයක් හරහා මුහුණුවරකට ඇතුළු වන සෑම අවස්ථාවකම කාලය තුළ ඔහු තීරණය කළ යුත්තේ අනෙක් දාර දෙකෙන් ඔහු පිටවිය යුතු බවයි. මෙම ඇල්ගොරිතමය ධාවන කාලය පමණක් අද්දර-හරස් මාර්ග සංඛ්යාව රේඛීය වුවත්, ඒක ගොඩගසමින් දුර නිසා, ආදාන ප්රමාණය ශ්රිතයක් ලෙස විෂ්කම්භය වඩා අත්තනෝමතික විශාල විය හැකි . අපට මීට වඩා හොඳින් කළ හැකිද? $P$ $O(1)$ $\ell$ $P$

(භාවිතයේ දී, මාර්ගය දිග ඇත්තටම ඔව්, උතුරා යන නොවේ; ආදාන නියෝජනය කිරීම සඳහා අවශ්ය බිටු ගණන අනුව ඉහළ බැඳී ගෝලීය නැත එහෙත් පූර්ණ සංඛ්යාමය යෙදවුම් මත අවධාරනය වෙනුවට, විසකුරු සංඛ්යාත්මක ප්රශ්න කිහිපයක් මතු කරයි - අපි ගණනය කරන්නේ කෙසේද. හරියටම කොහෙද නැවැත්වීමට? - එබැවින් අපි සැබෑ යෙදවුම් හා නිශ්චිත සැබෑ ගණිතයට ඇලී සිටිමු.)

මෙම ගැටළුවේ සංකීර්ණතාවය ගැන නොවරදින කිසිවක් දන්නවාද?

යාවත්කාලීන කිරීම: ජුල්කිවිච්ගේ ප්‍රකාශය අනුව, තාත්වික RAM ධාවනය වන කාලය තනිකරම (පොලිටොප් වල සංකීර්ණතාව) අනුව සීමා කළ නොහැකි බව පැහැදිලිය. දෙකක ඒක පාර්ශවීය ඒකකය වර්ග පිළිබඳ විශේෂ අවස්ථාවක් සලකා බලන්න $n$ $[0,1]^2$ මාරියෝ දී ආරම්භ සමග, සහ මඟ පෙන්වීම ගමන් . මාරියෝ වන පූර්ණ සංඛ්යාව වන සමතැන මත පදනම්ව ඉදිරි හෝ වර්ග පිටුපස නතර කරනු ඇත . අපට සතුටු නොවන්නේ නම්, නියම RAM මත අපට නියමිත වේලාවට බිම් ක්‍රියාකාරිත්වය ගණනය කළ නොහැක $(0,1/2)$ $(1,0)$ $\lfloor \ell \rfloor$ PSPACE සහ P සමාන කිරීම . නමුත් අපි ගණනය කළ හැකි දී එම බොළඳ ඇල්ගොරිතමය අත්දුටු වැඩිදියුණු වන ඝාතීය සෙවුම, විසින් කාලය. කාලය පද ඇත හා සෑම විටම සපුරා? $\lfloor \ell \rfloor$ $O(\log \ell)$ $n$ $\log \ell$

ds.algorithms cg.comp-geom

— ජෙෆේ
source

මම සිතුවේ වඩාත් සරල ගැටළුවක්, එනම්: අපට සරල බහුඅවයවයක් සහ යම් ස්ථානයක සිට ගමන් කරන ආලෝක කදම්භයක් ඇත. එය දාරයකට ළඟා වූ විට එය පිළිබිඹු වේ. ලබා දී ඇති දුර ප්‍රමාණයෙන් පසු කදම්භය සිය ගමන් අවසන් කරන්නේ කොතැනින්දැයි අපට දැන ගැනීමට අවශ්‍යය. දී ඇති බහුඅවයවයක හැඩයෙන් ඉහළ සහ පහළ පැති සහිත ඉතා කුඩා උසකින් යුත් ප්‍රිස්මයක් වන පොලිටොප් එකක් ගැනීමෙන් එය (පාහේ) අඩු කළ හැකිය. සමහර විට මෙය පළමුව විසඳීම උපකාරී වේ.

— julkiewicz

“[T] ime බහුපදයේ n සහ ලොග් l” මට තේරුමක් නැත. එය l මත රඳා පවතී නම්, එය P හි ඛණ්ඩාංක මත ද රඳා පැවතිය යුතු අතර, ඔබ ආදානයේ ඇති සියලුම සංඛ්‍යා වල ලොග් එකතු කරන්නේ නම්, එය හරියටම ආදාන ඛණ්ඩාංක පූර්ණ සංඛ්‍යා වලට සීමා වූ විට ආදානය නිරූපණය කිරීමට අවශ්‍ය බිටු ගණන වේ. ආදානය ටිකක් නූල් ලෙස ලබා දෙන විට ඔබ සැබෑ RAM එකක කාල සංකීර්ණතාව දෙස බලනු ඇතැයි මම සිතමි.

— ට්සුයෝෂි ඉටෝ

මාරියෝ නම් පවා තීරණය මෙතෙක් එය ශීර්ෂයක් (ස්වාධීන පන්නයි

) දුෂ්කර බව පෙනේ. මම හිතන්නේ මෙන්න අපි බිලියඩ් ගතිකයේ නොදන්නා බොහෝ දේ වෙතට දිව යන්නෙමු.

ℓ

$\ell$

— ජෝශප් ඕ'රෝර්ක්

සැබවින්ම සම්බන්ධ නැත, නමුත් සුපර් මාරියෝ හි එන්පී-සම්පූර්ණත්වය පිළිබඳ මෙම ලිපිය ඇත්තෙන්ම පුදුම සහගත ය: arxiv.org/pdf/1203.1895v1.pdf

— Lamine

සංකීර්ණ න්‍යාය ගැන මුළුමනින්ම උදාසීන කෙනෙකු පැවසුවේ “සමහර විට එය එතරම් ඉහළ අගයක් ගනී” කියා ය.

— ජෙෆේ

Answers:

මෙම ගැටළුව ඉතා දුෂ්කර ය. පහත පරිදි එය පහසු කිරීම සඳහා අපට එය සරල කළ හැකිය.

අපි polytope සෑම ශීර්ෂයක් ගැන කෝණය මුදලක් යන උපකල්පනය එකතු කළ හැකි $P$ $\pi$
පොලිටෝපය සැබවින්ම ත්‍රිමාන නොවන බව අපට උපකල්පනය කළ හැකිය, ඒ වෙනුවට බහුඅස්රයක “ද්විත්ව” ය; මේක කොට්ට කොට්ටයක් වගේ. අපට තව දුරටත් සරල කළ හැකි අතර බහුඅස්රයට සමාන හා සමාන්තර පැති ඇතැයි සිතමු; ඇස්ට්‍රොයිඩ් ක්‍රීඩාවේදී මෙන් චතුරස්රයක්.

අපි මෙම උපකල්පන දෙකම කරන්නේ නම් විශාල න්‍යායක් ඇත. ( සොයා ගැනීම $O(\log(\ell))$

අප තාර්කිකත්වය උපකල්පනය නොකරන්නේ නම්, නමුත් බහුඅවයවය බහුඅවයවයේ දෙගුණයක් යැයි උපකල්පනය කරන්නේ නම්, අපි සාකච්ඡා කරන්නේ “අතාර්කික බිලියඩ් වල අනුක්‍රම කැපීම” යන න්‍යායයි. මෙහි මූලික වශයෙන් කිසිවක් නොදන්නා බව පෙනේ; උදාහරණයක් ලෙස කොරින්නා උල්සිග්‍රායිගේ මෙම කතාවේ අවසාන වාක්‍යය බලන්න .

අපි උපකල්පනයක් නොකරන්නේ නම්, මට සාහිත්‍යයේ කිසිවක් ගැන සිතිය නොහැකිය.

$O(\log(\ell))$

— සෑම් නීඩ්
source

මම හිතන්නේ ඔබට රේඛීයව වඩා හොඳින් කළ හැකිය. මම න්‍යායාත්මක පරිගණක විද්‍යාවට අලුත් ය, එබැවින් මෙය කුණු නම් මට සමාව දෙන්න.

සමහර පොදු අදහස් (වෙනස් වටිනාකමකින් යුත්):

අපි සෑම මුහුණුවරකටම සංකේතයක් ලබා දුන්නොත්, මාරියෝගේ කක්ෂය නූලක් ලෙස හැඳින්විය හැකිය, එහිදී නූලෙහි අවසාන සංකේතය පිළිතුර වේ.
මාරියෝ ආරම්භ වන්නේ දාරයක බව අපට උපකල්පනය කළ හැකිය (පසුපසට ගමන් කර l අද්දරට දිගු කරන්න)
ආරම්භක ස්ථාන සහ කෝණ වල 2D අවකාශය ඊළඟ දාරයෙන් බෙදිය හැකිය. ඒ නිසා a, කෝණයකින් පහළින් x ඒකක x අද්දර සිට ආරම්භ වන අතර, අපි එක් පැත්තක් තරණය කිරීමෙන් පසු V දාරයේ කෙළවර වෙමු.
එම අවස්ථාවෙහිදී අපි වෙනත් දිශානතියකින් තවත් අද්දර සිටිමු, එබැවින් අපට අවකාශය සංකේත 2 කින් යුත් කොටස් වලට බෙදීමට පුනරාවර්තන ලෙස ශ්‍රිතය ඇමතිය හැකිය.
මෙම අවස්ථාවෙහිදී, ටීඑම් එකක් මත ගැටළුව ක්‍රියාත්මක කිරීම සඳහා අවකාශය වෙන් කළ යුතු යැයි අප පැවසුවහොත් අපි අවසන් කරමු. එහි අර්ථය වන්නේ සෑම කක්ෂයක්ම වරින් වර විය යුතු බැවින් විචලනය වූ ග්‍රහලෝකයේ ඇත්තේ ඉතා සුළු ලකුණු ප්‍රමාණයක් පමණි. සියලුම ආරම්භක ස්ථාන සඳහා කක්ෂගත වී මෙම තොරතුරු ගබඩා කරන තෙක් අපට ඉහත විස්තර කර ඇති ශ්‍රිතය ගණනය කළ හැකිය. එවිට ගැටළුව O (1) බවට පත්වේ.
සමහර විට ඒක ටිකක් පොලිස්කාරයෙක්. තාර්කික උත්තල බහුඅස්රයන් තුළ ඇති බිලියඩ් කක්ෂ සියල්ලම පාහේ ආවර්තිතා බව සමහර ගොග්ලිං මට කියයි (එනම් ආවර්තිතා කක්ෂ .න වේ). එබැවින් (කියන්න) වර්ග ග්‍රහලෝක සඳහා එකම ප්‍රවේශය ක්‍රියාත්මක විය හැකිය.
තවත් ප්‍රවේශයක් වනුයේ පද්ධතිය උත්පාදක යන්ත්රයක් / නූල් හඳුනාගැනීමක් ලෙස සැලකීමයි (නැවතත් එක් එක් අංගයට තමන්ගේම සංකේතයක් පැවරීමෙන්). භාෂාවට දන්නා සංකීර්ණ පන්තියක් තිබේ නම්, එය ඔබේ පිළිතුරයි. ඔබ පොලිටොප් වල පවුල උත්තල නොවන හා ඕනෑම මානයකට පුළුල් කරන්නේ නම්, ඔබට ඉතා පුළුල් භාෂා ප්‍රමාණයක් අල්ලා ගත හැකිය.

මෙය සැබවින්ම පිළිතුරක් නොවේ, නමුත් මට නැවත වැඩට යා යුතුය. :)

— පීටර්
source

"මෙම අවස්ථාව ටී.එම් මත ක්‍රියාත්මක කිරීම සඳහා අවකාශය වෙන් කොට හඳුනාගත යුතු යැයි අපි පැවසුවහොත් අපි අවසන් කර ඇත්තෙමු. එයින් අදහස් කරන්නේ සෑම කක්ෂයක්ම වරින් වර විය යුතු බැවින් අභිමත ග්‍රහලෝකයේ බොහෝ ලකුණු පමණක් ඇති බැවිනි." ඔබ දැන් ගැටලුවේ සිත්ගන්නා සුළු කොටස විනාශ කර ඇත. ආදානය විවික්ත යැයි උපකල්පනය කිරීමට මට අවශ්‍ය නැත ; නියත වේලාවට නිශ්චිත සැබෑ ගණිතයක් කළ හැකි පරිපූර්ණ පරිගණකයක් අවශ්‍ය වුවද, සත්‍ය අඛණ්ඩ ගැටළුව විසඳීමට මට අවශ්‍යය. විශේෂයෙන්, මාරියෝගේ මාවත කිසි විටෙක සිරස් තලයකට ස්පර්ශ කිරීම අවශ්‍ය නොවේ.

— ජෙෆේ

මම හිතුවා ඒක ගොඩක් ලේසියි කියලා. ආරම්භක ස්ථානය සහ ග්‍රහලෝකය මනාව විස්තර කළ හැකි තාක් දුරට ඔබට අඛණ්ඩ යන්ත්‍රයක් සීමිත යන්ත්‍රයකින් කළ හැකිය. ඔබට මාර්ගය සංකේතාත්මකව නිරූපණය කළ හැකිය (ගණිතමය විලාසය). ඔබට අවශ්‍ය වන්නේ ඔබ කුමන මුහුණුවරකින් කෙළවර වන්නේ දැයි සොයා බැලීම පමණි. මාර්ගය නිසැකවම ආවර්තිතා බව ඔබට ඔප්පු කළ හැකි නම් (එය තාර්කික උත්තල බහුඅවයවයේ බිලියඩ් සඳහා වන පරිදි), ඔබට තවමත් එකම උපක්‍රමය යෙදිය හැකි නමුත් ප්‍රති result ලය ඉතා ප්‍රායෝගික නොවනු ඇත.

— පීටර්

අහෝ, සාමාන්‍ය පොලිහෙඩ්‍රා පිළිබඳ සාමාන්‍ය භූමිතික ආවර්තිතා නොවේ. (විශේෂයෙන්, සාමාන්‍ය

— බහුඅවයවයන්

ඔබ (පීටර්), “ආවර්තිතා බිලියඩ් කක්ෂය තාර්කික බහුඅස්රවල ense නයි” යන පුවත්පතට යොමු දක්වයි. මෙම වන්නේ නැහැ ආවර්තිතා මාර්ග බව ඉන් අදහස් Generic බලපත්රය යටතේ අවසර ලබා ඇත තාර්කික අස්ර දී. ඇත්ත වශයෙන්ම, ඇත්තේ ආවර්තිතා මාර්ගයන් (සමාන්තරකරණය දක්වා) පමණක් වන බැවින් ඒවාට සාමාන්‍ය වීමට අවස්ථාවක් නැත.

— සෑම් නීඩ්

ඇත්ත වශයෙන්ම, "වීච්" බහුඅස්රයක "අද්විතීය ergodic" මාර්ග පූර්ණ මිනුමකි. එබැවින් අපි මාරියෝ යවන්නේ අහඹු දිශාවකට නම්, ඔහු (අ) කිසි විටෙක සිරස් තලයකට පහර නොදෙනු ඇත (ගැටළු ප්‍රකාශයේ ජෙෆ් පවසන පරිදි), (ආ) ඔහුගේ මාවත කිසි විටෙකත් වැසෙන්නේ නැත, සහ (ඇ) විශාල පරිමාණයන්හි අනුක්‍රමය සංචාරය කරන ලද මුහුණු අහඹු ලෙස පෙනෙනු ඇත ("දුර්වල මිශ්‍ර" දේපලක් හේතුවෙන්). මෙය ගැටලුවට නිෂේධාත්මක පිළිතුරක් යෝජනා නොකරයි - නිදසුනක් ලෙස, pi හි ඉලක්කම් ද අහඹු ලෙස පෙනේ ...

— සෑම් නීඩ්